複數的提出將實數系直接擴大了乙個維度，實數成了複數的乙個特例。令\(\textbf\)為虛數單位，即\(\textbf^2\)=-1;尤拉公式
\[e^=cos\theta + i\; sin \theta
\]把乙個複數\(c=a+bi\)的極座標寫為
\[c=re^
\]其中，\(r=\sqrt,\theta=arctan(b/a)\).
單位複數的乘法可以達到乙個二維旋轉的效果。設\(c\)繞原點旋轉\(\phi\)角度後變為\(c'\),利用複數表示為
\[c'=re^=re^e^
\]於是\(e^\)是複數平面上的乙個旋轉運算元。這為二維平面的旋轉提供來了乙個簡潔的方法。相應的，在三維空間中，我們可以使用四元數來對物件進行旋轉。
四元數可以認為是複數的推廣，2023年哈密頓（hamilton）發明了四元數，這種數的形式為
\[q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k
\]其中，\(i^2=j^2=k^2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j\),這新包含的4個量並不滿足乘法交換律,\(i,j,k\)為三個正交的單位，四元數可有三種等價的表示方法，分別為
\[q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k \\
q=(q_0,\textbf)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
q = (q_0,q_1,q_2,q_3) \quad \quad \quad \\
\]上面的\(\textbf=(q_1,q_2,q_3)\)是三維空間的向量。下面解釋下幾個與四元數相關的概念
現在我們應該知道，四元數其實是複數擴充的結果，複數的虛部只有乙個，而四元數的虛部有三個，且兩兩相互正交。四元數失去了複數運算交換律的特性參考博士**，保留了複數絕大部份代數特性。為了表示方便，下面將四元數的乘法符號\(\circ\)省寫。
對四元數\(q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k\)做以下變形，記\(\textbf=(q_1,q_2,q_3)\),\(\rho = |\textbf|,\textbf=\rho \textbf_n\),其中\(\textbf_n\)是\(\textbf\)的單位方向向量。也即為
\[r=|q|=\sqrt \\
cos \theta = \frac \quad sin \theta = \frac \\
\]於是可得到
\[q=r(cos \theta +\textbf_nsin\theta)=re^_n\theta}
\]\(\textbf_n\)類似於複數中的\(i\),上面表示式表明了四元數的幾何意義，任意乙個四元數代表乙個旋轉，它還使得向量模伸長為原來的\(r\)倍。所以在下面討論四元數旋轉時，均預設為單位四元數。
在這裡都預設原點為不動點。我們需要用單位四元數對三維向量進行旋轉，根據對應關係，將三維向量表示為純虛四元數\((0,\textbf)\),注意純虛四元數和單位四元數不是乙個東西。設三維向量對應的四元數為\(p=(0,\textbf)\),單位四元數為\(q=(cos\theta,sin\theta\;\textbf_n)\),旋轉過程為
\[p'=qp=(cos \theta ,sin\theta \;\textbf_n)(0,\textbf)=(-sin \theta \;\textbf_n \cdot \textbf,cos \theta \;\textbf+sin\theta \; \textbf_n \times p)
\]算到這裡，似乎和我們希望得到的結果不同，因為第一項\(-sin \theta \;\textbf_n \cdot \textbf \not = 0\),而我們希望旋轉的結果還是在三維子空間中。僅當特殊情況滿足\(\textbf_n \cdot p=0\)時，也即旋轉軸和旋轉向量垂直的情況下，這時候我們得到的旋轉結果在三維子空間中，這裡先把這個問題放下，後面再討論。對於單位四元數\(q\)而言，\(q^=q^\),請看下面兩種變換
\[qp=(cos \theta,sin \theta \; \textbf_n)(0,\textbf) =(-sin \theta \;\textbf_n \cdot \textbf,cos \theta \;\textbf+sin\theta \; \textbf_n \times p) \quad \quad\\
pq^=(0,\textbf)(cos \theta,-sin \theta \; \textbf_n)=(-sin \theta \;\textbf_n \cdot \textbf,cos \theta \;\textbf+sin\theta \; \textbf_n \times p)
\]可以看到，上面兩個乘法得到的四元數虛部相同，但是得到的都不是純虛四元數。但是可以知道，左乘乙個單位四元數和右乘該單位四元數的逆得到的效果是相同的。考慮
\[qpq^=(cos \theta,sin \theta \; \textbf_n)(0,\textbf) (cos \theta , -sin \theta \; \textbf_n)\\
=(-sin \theta \;\textbf_n \cdot \textbf,cos \theta \;\textbf+sin\theta \; \textbf_n \times p) (cos \theta , -sin \theta \; \textbf_n) \\
=(0,\frac(\textbf_n\cdot \textbf)\cdot\textbf_n+\frac\;\textbf+sin2\theta\;\textbf_n \times \textbf)
\]結果得到了我們所要的虛四元數，但是角度都變為2倍了，這就相當於將原三維向量旋轉了\(2\theta\)角度。所以在使用\(qpq^\)進行旋轉時，需要將角度改為\(\theta/2\),複數之所以旋轉一次\(\theta\)角度就可以是因為複數旋轉本身是一種特殊情況，它的旋轉向量與旋轉軸垂直（可以假想為\(z\)軸）。
下面來總結下利用四元數進行旋轉的步驟。假設需要旋轉的三維空間的點為\(\textbf\),寫成四元數的形式
\[p=(0,\textbf)
\]接下來要將該點繞軸\(\textbf\)（單位向量）旋轉\(\theta\)度。考慮四元數
\[q=(cos(\theta/2),sin(\theta/2)\textbf) \quad \quad \\
q^=(cos(\theta/2),-sin(\theta/2)\textbf) \\
\]利用四元數旋轉得到乙個純虛四元數
\[p'=qpq^=(cos^2\frac\;\textbf+sin^2\frac(\textbf\cdot \textbf)\cdot \textbf+sin\theta \;\textbf\times \textbf
\]\(p'\)即是變換後的點。整個過程可以理解為，先左乘\(q\)作\(\theta/2\)角度旋轉，再右乘\(q^\)也作\(\theta/2\)旋轉。總的而言，使用四元數進行旋轉僅需儲存4個浮點數，相比矩陣更加輕量，四元數無論是求逆、串聯等操作，相比矩陣更加高效。
參考部落格
參考**
參考ppt
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