用 表示四元數是為了紀念其發明者 hamilton.
其中：可以根據
來推導以下式子：
跟複數類似，我們可以把四元數寫成：
它的基是
, 或者：
類似複數，四元數的模長（範數norm）定義為：
也可寫成：
同複數的乘法不同，四元數乘法不遵守交換律，所以有左乘和右乘的說法，結合律和分配律還是滿足的。
:類似的，我們也可以把它寫成矩陣形式：
這個矩陣其實也很類似複數的矩陣：除了對角線上的元素
， 差一點它就可以成為乙個反對稱矩陣，或者說它是乙個 ai 加上乙個 反對稱矩陣。
因為四元數左乘和右乘的結果不一樣，所以它的右乘矩陣是不一樣的。
繼續觀察它的乘積結果：
又有 整理一下
所以 又可以寫成：
這個結論也被叫做 graßmann 積(graßmann product)。
對任意四元數
的結果是：
如果四元數的實部為0， 即：
則稱v為純四元數。任意的3d向量都可以看作純四元數，我們用v來代表
對應的四元數，兩個純四元數
，那麼：
其實這裡就可以直接驗證 左乘 和 右乘 是不一樣的。
類似於複數，四元數的共軛
為 , 同樣類似於複數：
，同理我們可知道：
這是關於共軛的特殊性質：共軛乘法滿**換律。
因為四元數的乘法不遵守交換律，所以我們通常不會寫 p/q， 我們會將乘法的逆運算定義為
，注意這一般不會同於
.是 q 的逆：
右乘的逆運算為右乘
， 左乘的逆運算為左乘
: 如果我們想要計算
:如果 ,那麼q是乙個單位四元數，有：
參考：四元數與三維旋轉
四元數乘法 剛體旋轉中的四元數
四元數博大精深，用途之一圖形學中的三維旋轉。單純從應用角度考慮，四元數可以以如下方式應用於旋轉。旋轉示意圖 假定我們有乙個經過原點的旋轉軸 其中 則，3d旋轉可以通過四元數乘法來表示 1 其中，為單位四元數，等價於 和 分別為 的共軛和逆。對於單位四元數而言 根據式 1 結合四元數的乘法，可以完成一...
四元數乘法計算
關於兩個四元數的乘法，網上查了一大堆，沒乙個說明白的。我就想知道給我兩個四元數，我該怎麼算出來它們的乘積。這麼簡單的需求都沒法找到答案，實在對不起四元數的江湖地位。要想計算四元數的乘法，首先需要知道四元數常見的表示方法 其中複數式 向量式和三角式基本是一回事，都是把四元數寫成乙個標量和乙個向量的和的...
四元數左乘右乘 四元數 旋轉
四元數系列 首先很感謝各位的支援，本來我也就是說寫個自己看的筆記啥的，沒想到那麼多人點贊。本篇主要介紹旋轉相關的知識，其中會盡量把我認為精彩的部分說細一點，更像教程的方式去敘述，但是基礎性的公式證明應該還是不會提，畢竟篇幅有限。0.胡爾韋茲定理 上篇四元數定義中，為了完整性，我提到了三元數或五元數理...