有很多文章和帖子討論四元數在3d
命題：設四元數
u
= a*i + b*j + c*k
，且u
^2= -1
；對於任意四元數
p
，以u
為軸正向旋轉（右手座標系中逆時針方向，左手座標系中順時針方向）θ角度，得到向量
p'
，則：p'
=r*p*r^(-1)
，其中r =
cos(
θ/2)+sin(
θ/2)* u。
證明：
r*r^(-1)= 1 =r^(-1)* r......（1）
在方程（1）兩邊同時乘以r的共軛r*，可以得到：
r*= r^(-1)* r * r*= r^(-1)* |r|^2 ......
（2）又由：|r|^2 = (cos(
θ/2))^2 + (sin(
θ/2))^2*
（a^2 + b^2 + c^2）= 1
得r^(-1)= r*/ |r|^2= r*=cos(
θ/2)-sin(
θ/2)* u
如圖所示， 設四元數v與u垂直，與u,p共面，且v^2 = -1；四元數w=u*v，則u,v,w組成乙個直角座標系。
則r*p*r^(-1) = (cos(
θ/2)+sin(
θ/2)* u) * ( s *u+ t *v) * (cos(
θ/2)-sin(
θ/2)* u)
= ( s * cos(
θ/2)* u +t*cos(
θ/2)*v -s*sin(
θ/2)+t*sin(
θ/2)*w) * (cos(
θ/2)-sin(
θ/2)* u)
= s* (cos(
θ/2))^2* u + t*(cos(
θ/2))^2*v -s*sin(
θ/2)*cos(
θ/2)+t*sin(
θ/2)*cos(
θ/2)*w
+s*sin(
θ/2)*cos(
θ/2)+t*sin(
θ/2)*cos(
θ/2)*w -s*(sin(
θ/2))^2*u - t*(sin(
θ/2))^2*v
=s*u +t* cos(
θ)*v +t*sin(
θ)*w
由此可知，p』
是由p繞u正向旋轉
θ角度而得。
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