MT 253 仿射和蒙日圓

2022-07-28 23:18:15 字數 688 閱讀 5907

如圖,設點$m(x_0,y_0)$是橢圓$c:\dfrac+y^2=1$上一點,從原點$o$向圓$m:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\dfrac$作兩條切線分別與橢圓$c$交於$p,q$,直線$op,oq$的斜率分別為$k_1,k_2$

(1)求證:$k_1k_2$為定值

(2)求四邊形$opqm$面積的最大值.

分析:涉及到面積最大容易想到仿射變換:

(1)$$\begin

x^&=x\\

y^&=\sqrty

\end$$

則$k^=\sqrtk$,由蒙日圓性質得$k_1^k_2^=-1$故$k_1k_2=-\dfrac$

(2)如圖$s=\dfrac}(s_1+s_2)=\dfrac}(sin\alpha+cos\alpha)\le1$

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