矩陣變換中等距相似仿射和投影變換的小結

機器學習面試填坑中，希望對大家有所幫助！！！

前言：

投影變換組成了乙個群，這個群稱之為投影變換群，n*n可逆實矩陣稱之為一般線性群gl(n)，當把相差非零純量因子的矩陣都視為等同時，便得到了投影變換群，記為pl(n)，在平面投影變換時記為pl(3)，假定矩陣h為

h =

其中當最後一行為（0，0，1）時的變換為仿射變換，在仿射的前提下，當左上角2*2的矩陣正交時為歐式變換，左上角矩陣行列式為1時為定向歐式變換，所以，投影變換群包含仿射變換群，仿射變換群又包含歐式變換群。

1、等距變換：即平移變換和旋轉變換的復合，用r表示變換矩陣，r為3*3矩陣。

r=
,   ,
}

左上角2*2矩陣為旋轉部分，tx 和ty 為平移因子，它有三個自由度，即旋轉，x方向平移，y方向平移。等距變換前後長度，面積，線線之間的角度都不變。

2、相似變換：它相當於是等距變換和均勻縮放的乙個復合，用s表示變換矩陣，s為3*3矩陣，

s = 
,     ,
}

左上角2*2矩陣為旋轉部分，tx 和 ty 為平移因子，它有四個自由度，即旋轉、x方向平移、y方向平移和縮放因子s。相似變換前後長度比，夾角、等等保持不變。

3、仿射變換：相當於平移變換和非均勻變換的乙個復合，用a矩陣，a為3*3矩陣，

a = 
,     ,
}

其中a可以分解為a = r(a)r(-b)dr(b), 其中d=, }

左上角2*2矩陣為旋轉部分，tx,ty為平移因子，它有6個自由度，即旋轉4個，x方向平移，y方向平移。它能保持平行性，不能保持垂直型，影象中各部分變換前後面積比例保持不變，共線線段或者平行線段的長度保持不變，向量的吸納性組合不變，面積被縮放了c1*c2=deta倍。

4、投影變換：用h表示，h為3*3矩陣，如前面那樣，它有8個自由度，其中

h=,
,}

其中h31與h32不為0是它與仿射變換的本質區別，它使得仿射變換的非線性效應，可以把乙個h分解為：

h= sap，其中s 為相似變換，a為仿射變換，p為投影變換。變換前後共點，共線，交比，相切，拐點，切線的不連續性保持不變。

總結：

仿射變換介於投影變換和相似變換之間，仿射變換推廣相似變換使得夾角不在保持不變，造成物體形狀在變換後產生歪斜，在變換中，它只與方向相關，與位置無關。

矩陣變換中等距 相似 仿射和投影變換的小結