設x
1 和x2
為rn空間中兩個點，且x1
≠x2 ，那麼 y=
θx1+
(1−θ
)x2,
θ∈r
組成了一條穿過x1
和x2 的直線。如果θ=
0 ，則y=
x2，如果θ=
1 ，y=
x1。當θ∈
[0,1
] 時，
y 組成了x1
和x2 之間的線段。
如果有集合c⊆
rn，且穿過集合
c 中任意兩點的直線仍然在集合
c中，則稱該集合是仿射的。用公式來表達就是：∀x
1,x2
∈c及θ∈
r ，都有θx
1+(1
−θ)x
2∈c 。也就是說，集合
c 包含
c中任意兩點係數和為1的線性組合。
推廣到多個點。如果θ1
+⋯+θ
k=1 ，則稱θ1
x1+⋯
+θkx
k 為x1
,⋯,x
k 的彷射組合。乙個仿射集合包含集合內任意點的仿射組合，即如果
c 仿射，x1
,⋯,x
k∈c，且
θ1+⋯
+θk=
1 ，則一定有θ1
x1+⋯
+θkx
k∈c 。
如果集合
c 仿射,且x0
∈c，則集合 v=
c−x0
=
是乙個子空間。
證明：設v
1,v2
∈v,α,β
∈r,根據
v 的定義有v1
+x0∈
c,v2
+x0∈
c。容易看出 αv
1+βv
2+x0
=α(v
1+x0
)+β(
v2+x
0)+(
1−α−
β)x0
, 因為c
仿射且α+
β+(1
−α−β
)=1，可以得出αv
1+βv
2+x0
∈c，即αv
1+βv
2∈v ，也就是說集合
v 對加法和數乘是封閉的，因此
v是乙個子空間。
我們稱集合c∈
rn中點的所有仿射組合構成的集合為
c 的仿射包。記為aff
c。 aff
c=.
仿射包是包含
c 的最小的仿射集合，也就是說，如果c⊆
s，且s 仿射，則有aff
c⊆s。該證明平凡。
幾個例子：
1. 單點集的仿射包是它本身。
2. 包含兩個點(兩點不同）的集合的仿射包是穿過它們的直線。
3. 包含三個點(三點不共線)的集合的仿射包是穿過它們的平面。
如果集合
c 中任意兩點間的線段仍然在
c中，則稱集合
c 為凸集。即對於∀x
1,x2
∈c和θ
∈[0,
1]都有 θx
1+(1
−θ)x
2∈c.
類似，我們稱θ1
x1+⋯
+θkx
k 為x1
,⋯,x
k 的凸組合，其中θ1
+⋯+θ
k=1 ，且θi
⩾0,i
=1,⋯
,k。乙個凸集包含集合內所有點的凸組合。
我們稱集合
c 中所有點的凸組合組成的集合為集合
c的凸包，記為con
vc, con
vc=.
凸包總是凸的，是包含
c 的最小凸集。
凸組合的概念可以推廣到無窮級數、積分以及大多數形式的概率分布。比如，假設θ1
,θ2,
⋯滿足 θi
⩾0,i
=1,2
,⋯,∑
i=1∞
θi=1
, 且x
1,x2
,⋯∈c
，c為凸集。這時，如果級數∑n
i=1θ
ixi收斂，我們就有 ∑i
=1nθ
ixi∈
c.更一般地，假設p:
rn→r
為定義在
c 上的概率密度。那麼，如果積分∫c
p(x)
xdx存在，我們就有 ∫c
p(x)
xdx∈
c
如果對於∀x
∈c和θ⩾
0 都有θx
∈c，我們就稱集合
c 是錐或者非負齊次。如果對於∀x
1,x2
∈c和θ
1,θ2
⩾0，都有 θ1
x1+θ
2x2∈
c,我們就稱
c 為凸錐。
在二維平面上，具有此類形式的點構成乙個以0為起點的扇形。
形式的點稱為x1
,⋯,x
k 的錐組合。和仿射(凸)組合一樣，錐組合也可以推廣到無窮級數和積分。 集合c
的錐包是
c中所有元素的錐組合的集合，即
錐包是包含
c 的最小的凸錐。
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