動態規劃 揹包問題

一、01揹包問題

有n個重量和價值分別為wi，vi 的物品。從這些物品中挑選出總重量不超過w的物品，求所有挑選方案中價值總和最大的乙個。

1:樸素演算法

對於每個物品，有可選與不可選兩種可能，這取決於揹包是否還能裝入。若可取，則判斷取之前與之後兩種選擇哪種最終價值總和更大。搜尋所有可能。

1

//輸入 
2int
n,w;
3int
w[max_n],v[max_n];45
//i:物品下標 val:當前揹包剩餘容量 返回最大總價值 
6int rec( int i, int
val )712
13int res = 0;14
if( w[i]>val )
15     
18else
19     
22return
res;23}
2425
void
solve()
26

這種方法搜尋深度為n,每次都有兩個分支，最終時間複雜度為o(2^n)

2.記憶化搜尋

觀察遞迴搜尋樹可以發現有重複搜尋的地方，加入dp陣列儲存中間結果(剪枝)。

1

int dp[max_n+1][max_w+1]; //
記憶化陣列 23
//i:物品下標 val:當前揹包剩餘容量 返回最大總價值 
4int rec( int i, int
val )510
11if( i>=n  ) 
12     
1516
int res = 0;17
if( w[i]>val )
18     
21else
22     
25return dp[i][val] =res;26}
2728
void
solve()
29

對於相同引數只會被呼叫一次，引數的組合只有 nw 種，且每次函式只有兩次呼叫遞迴，所以時間複雜度下降為o(nw)。這種方法稱為記憶化搜尋。

3.動態規劃

結合搜尋函式和相對應的記憶化陣列:

rec(i,j) = rec( i+1, j )  　　　　　　　　　          jmax( rec(i+1,j), rec(i+1, j-w[ i ] ) + v[i] ) otherwise                  　　 = max( dp[ i+1 ][ j ]  , dp[ i+1 ][ j - w[ i ] ] + v[ i ]  )  otherwise

可以不用寫函式，從初始dp[ n ][ j ] = 0 狀態利用上遞推式將各項值計算出來，用二重迴圈即可解決。

這裡及以下所有dp陣列均為全域性變數，當初始值為0時沒有進行初始化。

1

int dp[max_n+1][max_w+1]; //
dp陣列 23
void
solve()413
else
1417}18
}19     printf("
%d\n
",dp[0][w]); //
rec(0,w)
20 }

這時的dp[ i ][ j ] 可以理解為從第i件物品開始選揹包容量為j的最大總價值。

若將dp[ i ][ j ] 理解為從第0見開始選到第i件且揹包容量為j的最大價值，有第二種遞推式。

1

int dp[max_n+1][max_w+1]; //
dp陣列 23
void
solve()414
else
1518}19
}20     printf("
%d\n
",dp[n][w]);
21 }

利用一維陣列:若我們需要的僅僅是最終結果，觀察到dp[ i+1 ][ j ]僅與其上乙個物品時dp[ i ][ j ]有關，所以可以重複利用一維陣列完成遞推式。

1

int dp[max_w+1]; //
一維dp陣列 23
void
solve()411
}12     printf("
%d\n
",dp[w]);
13 }

這時原來的dp[i]的i可以認為是上一次迴圈時產生的dp值，即這一維在i迴圈種被隱去了。 (我也還沒十分了解)

二、完全揹包問題

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