藍橋杯試題歷屆試題波動數列 DP解決

問題描述

觀察這個數列：

1 3 0 2 -1 1 -2 ...

這個數列中後一項總是比前一項增加2或者減少3。

棟棟對這種數列很好奇，他想知道長度為 n 和為 s 而且後一項總是比前一項增加a或者減少b的整數數列可能有多少種呢？

輸入格式

輸入的第一行包含四個整數 n s a b，含義如前面說述。

輸出格式

輸出一行，包含乙個整數，表示滿足條件的方案數。由於這個數很大，請輸出方案數除以100000007的餘數。

樣例輸入

4 10 2 3

樣例輸出

2樣例說明

這兩個數列分別是2 4 1 3和7 4 1 -2。解題思路:

假設p = (a or -b)，第一項為x，則 x + x+p + x+2p + ... + x+(n-1)p = s , nx + (n-1)n/2 * p = s , (s - ( n-1)n/2*p ) % n == 0 (x為整數)

這裡用p其實不夠準確，若第二項選擇+a，則第三項是在 x+a的基礎上選擇+a / -b, 所以不同項選擇的「權重「不同，第二項選擇+a後剩下的項

都相當於+a,這時只要反過來表示才是準確的: x + (n-1)p + (n-1)p + ... + p = s.

假設a總共和有k1項，b有k2項，那麼 k1 + k2 == (n-1)n/2 , 且滿足 ( s - k1*a + k2*b ) %n ==0 ，所以問題轉化為計算對於k1(0<=k1<=(n-1)n/2),

有多少種求和方案:dp解決：另dp[ i ][ j ] :表示前i項a相加和為j的方案數。為方便起見，i的權重即為i。此時與01揹包問題類似:若 i>j,則 i 不能加入,dp[ i ][ j ] = dp[ i-1][ j ],

若 i而dp[ i ] 只與 dp[ i-1 ]有關，可以用兩行滾動陣列解決。

實現**:

1 #include2
3 typedef long
long
intll;45
const
int max_n  = 1000;6
const ll max_s = 1000000;7
const ll mod = 100000007;8
9ll n,s,a,b;
1011
int dp[2][max_s/2
];12
13void
solve()
1426
else29}
30         flag =flag_;
31} 
3233     ll s = (n-1)*n/2
;34     ll res = 0;35
for( ll k=0; k<=s; k++)
3641
} 42     printf("
%lld\n
",res);
43} 
4445
intmain()
46

view code

上解題思路是把所有a項數的方案計算出來，依次判斷各項數下是否滿足條件。另乙個思路參考 (更加簡潔優美)

因為有 ( s - k1*a + k2*b ) %n ==0 --> s%n == (k1*a- k2*b)%n 即p的和與s同餘。則問題轉變為求p和與s同餘的方案數。設dp[ i ][ j ]:前i項p和%n後==j的方案個數。

dp[ i ][ j ] 有前 i -1 項和 +i*a或者-i*b後%n==j得到。設前i-1項和為c:

c + i*a ≡ j (mod n) --> c ≡ j - i*a(mod n)

c - i*b ≡ j( mod n) --> c ≡ j + i*b( mod n)

所以dp[ i ][ j ] = ( dp[i-1][ (j-ai*+n)%n ] + dp[ i-1 ][ (j+i*b)%n ])

實現**:

1 #include2
3 typedef long
long
ll;4
5const
int max_n = 1000;6
const
int mod = 100000007;7
8//輸入9
ll n,s,a,b;
1011
intdp[max_n][max_n];
1213
void
solve()
1423}24
25     printf("
%d\n
",dp[n-1][((s%n)+n)%n]);26}
2728
intmain()
29

view code

負數取餘: 避免餘數出現負數: ( a%b+b)%b

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