揹包問題 動態規劃

有乙個體積為v的揹包，有n個物品，每個物品都有體積vi和價值wi，在揹包體積範圍內，求能桌下的最大價值。

這個問題中每個物品只能用一次。

設dp[i][j]表示用前i個物品裝體積為j的揹包。

那麼第i個物品要麼裝要麼不裝：

1、如果不裝，第i個物品和沒有一樣，dp[i][j]=dp[i-1][j]

2、如果裝，等於dp[i-1[j]中刨除第i個物體體積此時的最大價值 加上 第i個物體的價值。dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i];

我們只需取這兩種方案的最大值，就算是解決了。dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);

時間複雜度是o(v*m),空間也是o(v*m)

其實空間可以優化

注意觀察，可以發現每個狀態dp[i][j]之和dp[i-1]有關，什麼i-2,i-3都沒用了

我們試著開乙個一維的陣列dp[m];

一維難道不會覆蓋掉原來的值麼？

會的，但我們優先覆蓋不用的值。怎麼說呢？就是我們每次只會用比j小的地方的值，比j大的地方是不用到的，所以我們只要j從後往前列舉，就不會衝突了。

dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])   [j=n->v[i]]

具體來看看**：

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=v;j>=v[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);

#include #include#define max_n 10001

#define max_m 1001
using namespace std;
int w[max_n],v[max_n];
int dp[max_n + 1][max_m+ + 1];  //dp[i][j] 前i-1個物體中挑選重量不超過j時的最大價值
//其中,dp[0][j]=0;
//特徵方程 dp[i][j] = dp[i-1][j];          j>n>>w;
if(n < 1 || n > 10000 || w < 1 || w > 1000)
return 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int i = 1; i <= n; i++)
}cout<
完全揹包就是每種物品有無限個的揹包
這個時候我們的狀態轉移方程可以這麼寫：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
看起來好像沒區別啊？！
真的麼？
仔細看看，i-1變成了i
也就是說，選擇了第i個物品後，並不是轉到i-1，因為每個物品有無限個，所以還是轉到了i
狀壓一下，就是
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])  【j=v[i]->n】
唯一的區別就是j列舉的方向反了過來
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=m;j++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);

#include #include#define max_n 10001

#define max_m 1001

using namespace std;

int w[max_n],v[max_n];

int dp[max_n + 1][max_m+ + 1];//dp[i][j] 前i-1種物體中挑選重量不超過j時的最大價值

//其中,dp[0][j]=0;

//特徵方程 dp[i][j] = dp[i-1][j]; j>n>>w;

if(n < 1 || n > 10000 || w < 1 || w > 1000)

return 0;

for(int i = 1; i <= n; i++)

for(int i = 1; i <= n; i++)

}cout<

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