由於看的人竟然超過了1000個，於是在 2021.1.8 重寫此文。
威爾遜定理是指對於乙個質數p來說，有
\[(p-1)！\equiv-1(mod\;p)
\]且對於這個定理成立的數一定是質數，即「p為質數」和威爾遜定理互為充分必要條件。
於是通過這個性質我們可以構造一下質數分布的函式曲線（結合sin函式的性質）
\[f(n)=sin(\pi*((n-1)!+1)/n)
\]當函式值為0時，就可以得出乙個質數（是不是很雞肋）。
由於充分必要條件我們當然也可以用這個來判斷質數，不過不好用就對了。
首先我們將等式兩邊同時除以乙個-1（-1必然與p互質），接下來要證明
\[(p-2)！\equiv1(mod\;p)
\]對這個東西完全沒有頭緒呢~，從形式上觀察，考慮一下比較簡單的情況。
\[ax\equiv1(mod\;p)
\]這個東西就很簡單，當x是a的逆元就好。
再回到威爾遜定理，很顯然，對於 \(p=2\) 的時候，威爾遜定理成立。那麼除了2以外的質數應該全是奇數，p-2也應該全是奇數才對,觀察到問題成為了奇數個數相乘與1同餘。
又有1的逆元是1，所以把1踢出去，也就是說剩下的偶數個數的數如果可以兩兩對應，乘積\(\mod p=1\)威爾遜定理就整出來了。
對於\(a\in[1,p-2]\),一定有 \(a^\in[1,p-2],a^\not=a\)（\(x^2\equiv1\)的解有且只有 1 和 p-1)
那麼現在只有乙個問題了，逆元是不是一一對應呢，答案是當然的,有很多途徑可證明（比如定義出發，不定方程，費馬小定理等）。
逆元的性質決定了乙個數和它的逆元一一對應，2~p-2之間必然被\(\frac\)個互為逆元的數對完全覆蓋，1的逆元是1，故威爾遜定理成立。
威爾遜定理證明
威爾遜定理 當 p 1 1 mod p 時，p 為素數。p p 1 1 即 p 1 equiv p 1 equiv 1 mod p 證明 靜下心看 先假設集合 m 集合 n 任取乙個 a in m a 一定與 p 互質。再假設乙個集合 s a cdot n 對於 forall x in n x 一定...
威爾遜定理
而要解這個問題，使用窮舉或暴搜的方法顯然不可取。若要優雅而巧妙地解決這個問題，就需要用到乙個關於素數的著名結論 威爾遜定理 wilson s theorem 十八世紀中葉，一位英國法官約翰 威爾遜爵士，發現了數論中一種極為罕見的關係 取從1到某個質數所有連續正整數的乘積，例如從1乘到11，即11的階...
威爾遜定理與逆定理及證明
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