威爾遜定理：當 \(( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )\) 時，\(p\)為素數。
\[p|(p-1)!+1\]即
\[(p - 1)! \equiv (p -1) \equiv-1(mod \ p)
\]證明（靜下心看）：
先假設集合\(m=\\) ，集合\(n = \\)
任取乙個\(a\in m\) ，\(a\) 一定與\(p\) 互質。
再假設乙個集合\(s=a\cdot n=\\) ，對於\(\forall x\in n\) ，\(x\) 一定與\(p\) 互質。
則\(s\equiv n (mod \quad p)\) （任何數\(mod \quad p\) 一定屬於\(\\) 即\(n\)）。
即\(\forall a\in m\) ， \(\exist x \in n\) ， \(ax \equiv 1\)（因為 \(ax \in s\) ，在 \(mod \ \ p\) 的條件下 \(s=n\) ，且存在 \(1\in n\)）
我們可以證明，當\(x=1\) 或 \(x=p-1\) 或 \(x=a\) 時，與已知矛盾。
所以有\[ \forall a\in m ，\exist x \in m ,ax \equiv 1
\]也就是可以在\(m\) 中找到任意兩個不相等的數，使得兩個數相乘與$ 1 $同餘
對於 \((p-1)!\) ，有
\[2\times(p-1)!=1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (p-1) \\ \times(p-1)\times(p-2)\times(p-3) \times\cdots \times1 (mod \ \ p)
\]\[2\times(p-1)!=2\times(p-1) (mod \ \ p)\]即
\[(p-1)!\equiv p-1 (mod \ p) \ \ ( * )
\]
由$ ( * ) $ 式得 $ kp+(p-1)=(p-1)!=(p-1) * (p-2)! $變形得 $ kp = (p-1) * [(p-2)!-1] $
威爾遜定理及其證明
由於看的人竟然超過了1000個，於是在 2021.1.8 重寫此文。威爾遜定理是指對於乙個質數p來說，有 p 1 equiv 1 mod p 且對於這個定理成立的數一定是質數，即 p為質數 和威爾遜定理互為充分必要條件。於是通過這個性質我們可以構造一下質數分布的函式曲線 結合sin函式的性質 f n...
威爾遜定理
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威爾遜定理與逆定理及證明
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