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最早由英國的威爾遜爵士提出
乙個大於 \(1\) 的自然數為 \(p\) ，則它為質數的充要條件為 \((p-1)!\equiv -1(\mod p)\)
證明：充分性我們使用反證法：設 \(p\) 是合數，則設其最小質因子為 \(a\)
由於 \(a故 \(a\leq p-1\) 因此 \(a\mid (p-1)!\)
所以 \(a\nmid [(p-1)!+1]\)
又因為 \((p-1)!\equiv -1(\mod p)\) 因此 \(p\mid [(p-1)!+1]\)
由 \(a\mid p\) 得出 \(a\mid [(p-1)!+1]\) 矛盾
因此 \(p\) 不為合數
故 \(p\) 為質數
必要性我們這麼來考慮：
首先 \(2-1\equiv -1\equiv 1\equiv 1!(\mod 2)\)
對於任意質數 \(p\) 考慮整數 \(n\in[1,p-1]\bigcap z\) 令 \(n\cdot n\equiv 1(\mod p)\)
解得 \(n\equiv \pm1(\mod p)\)
所以，對於除了 \(1\) 與 \(p-1\) 的所有數，一定存在 \(m\) 使得 \(nm\equiv 1(\mod p)\)
而除了 \(2\) 的所有質數一定為奇數，則剩餘的 \((p-3)\) 個數一定兩兩配對，乘積為 \(1\)
因此 \(\displaystyle (p-1)!\equiv 1\cdot\prod_^i\cdot (p-1)=1\cdot 1\cdot (-1)\equiv -1(\mod p)\)
對於整數 \(p\) ，任意非 \(p\) 倍數的整數 \(a\) ，一定有 \(a^\equiv 1(\mod p)\)
考慮到對 \(\forall n
因此 \([a]\) 為 \(p\) 的乙個簡化剩餘類， \([na]\) 也為乙個簡化剩餘類
對 \(\forall n互不相同
故 \(\displaystyle \prod_^(ia)\equiv \prod_^i(\mod p)\)
\(\therefore \displaystyle (p-1)!\cdot a^\equiv (p-1)!(\mod p)\)
由威爾遜定理得到 \(-1\cdot a^\equiv -1(\mod p)\)
因此得到費馬小定理 \(a^\equiv 1(\mod p)\)
當然，費馬定理還有其它的形式，例如： \(a^p\equiv a(\mod p)\)
由 \(a^\equiv 1(\mod p)\) 得
\(a^n\equiv (a^)^\cdot a^\equiv 1^\cdot a^=a^(\mod p)\)
因此，對於求與模數互質整數很大的次方，可以用該方法優化
威爾遜定理
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