學習筆記 Sperner定理及其證明

額，最近看到了乙個十分有趣的定理——sperner定理。其實這個定理在oi中沒什麼用處，因此我都沒把這篇文章放到我的oi標籤裡(不知道在mo中是否有用？)但是覺得它很有趣於是就過來寫一下。

由於博主太弱不會用latex寫取整符號，本文中用$[x]$表示$x$下取整。

問題: 有乙個$n$元集合$s_n$，從中選出若干個子集，滿足沒有任何兩個子集之間存在包含關係，問最多能選出多少個？

首先結論是很好猜的。如果把所有$k$元子集全部選出，那麼顯然不會包含，一共能選$n\choose k$個子集。顯然這個數在$[\frac]$時取到最大值，我也構造不出來什麼更優的選法，我猜答案就是$n\choose [\frac]$ ！

正確答案就是$n\choose [\frac]$. 但這個結論的精彩之處在於它的證明:

證明: 對於選出的每乙個子集$s$，我們定義它的生成排列(好吧這個名字是我自己瞎起的)為一些$1$到$n$的排列，這個排列應當滿足前$|s|$個元素構成的集合為$s$, 後$n-|s|$個元素構成的集合為$s_n-s$. 不難發現乙個集合$s$的生成排列有$|s|!(n-|s|)!$個。

例如: $n=5$,集合的生成排列有以下$12$個:

1 3 4 2 5 1 3 4 5 2 1 4 3 2 5 1 4 3 5 2 3 1 4 2 5 3 1 4 5 2 3 4 1 2 5 3 4 1 5 2 4 1 3 2 5 4 1 3 5 2 4 3 1 2 5

4 3 1 5 2

然後我們考慮題目中子集互不包含的限制，在這裡轉化成了，從任何兩個子集的各任取乙個生成排列，這兩個生成排列不相等。也就是所有的子集的生成排列是沒有重複的。因為如果某個排列$p$同時是兩個不相等的子集$a,b$的生成排列，若$|a|=|b|$則有$a$和$b$都是排列$p$的同一字首構成的集合，$a,b$相等，矛盾；否則不妨設$|a|<|b|$, 則$a$集合內元素的乙個排列是$b$內元素的乙個排列的字首，顯然有$a\in b$。同樣地，我們可以證明如果$a$包含$b$, 則一定存在排列$p$滿足$p$同時是$a$和$b$的生成排列。

因此，原題條件等價於，選出盡量多的集合，使得所有集合的生成排列沒有重複。而設選出了$m$個集合，第$i$個集合的大小是$s_i$, 因為所有生成排列沒有重複，所有生成排列的個數不超過$n!$, 也就是$$\sum^m_ |s_i|!(n-|s_i|)!\le n!$$把$n!$除過去$$\sum^m_ \frac\le 1$$根據簡單的二項式係數性質可得$m\le ]}$

(非常抱歉我把如此簡單的東西講複雜了qaq)

不過以上過程雖然很容易理解，但是確實很難想啊……據說數學界研究了十幾年才得到這個證明qaq

另外還聽說這個定理可以推廣到可重集。

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