費馬小定理和尤拉定理及其證明

費馬小定理: 若p是素數,a是正整數且不能被p整除, 則 ap

−1=1

(modp)a

p−1=

1(mo

dp

)費馬小定理的擴充套件: ap

=a(m

odp)ap

=a(m

odp)

尤拉定理: 對任意互素的a和n,設ϕ(n)ϕ

(n

)為小於n且與n互素的正整數的個數,有aϕ

(n)=

1(mo

dn) aϕ(

n)=1

(mod

n)

尤拉定理的擴充套件: aϕ

(n)+

1=a(

modn

) aϕ(

n)+1

=a(m

odn)

證明:

用a乘以集合中所有的元素並對p取模, 那麼我們可以得到集合x

明顯x中所有的元素都小於p並且由於a不能整除p, 所以x中所有的元素都不等於0並且各個元素都不相等

這說明x和x的構成相同, 只是元素的順序不同

所以將兩個集合的元素分別相乘

(p-1)! mod p = a^(p-1) * (p-1)! mod p

兩邊約去(p-1)!即可得到費馬小定理

如果兩邊再同時乘以a的話就可以得到後面的擴充套件定理

尤拉定理與費馬定理的區別

二者很像, 尤拉定理沒有要求n必須是素數, 所以它讓ϕ(

n)ϕ (n

)來代替了集合x的作用, 因為二者的元素都是與n(或者說p)互素的

接下來就是和費馬定理相似的證明過程

費馬 尤拉定理證明

費馬小定理 引理 若集合 中元素對m取模的結果遍歷了 1 m 1 所有值，且k與m互質，則對m取模的結果同樣遍歷 1 m 1 所有值 或者用偏理論的語言描述 如果是m的乙個完全剩餘系，且k與m互質，則也是m的乙個完全剩餘系 證明 應用反證法，假設 於是 設 得 即與m不互質 又 k與m互質 與m不互...

費馬小定理和尤拉定理

先拓展一下威爾遜定理 如果p是素數，則 p 1 1 mod p 例 p 11,10 1 2 6 3 4 5 9 7 8 10 1 10 1 mod 11 測試 includeusing namespace std typedef long long ll const int mod 1e5 7 給出...

費馬小定理 尤拉定理總結

費馬小定理 fermat theory 假如p是質數，且 a,p 1，那麼 a p 1 1 mod p 即 假如a是整數，p是質數，且a,p互質 即兩者只有乙個公約數1 那麼a的 p 1 次方除以p的餘數恆等於1。尤拉定理,也稱費馬 尤拉定理 是乙個關於同餘的性質。尤拉定理表明，若n,a為正整數，且...