咱也不知道筆記該怎麼整，咱期望就只知道莽，知道線性性也⑧太知道怎麼用。
什麼「所有情況的概率加權平均值blabla」，一般用處不大？
或者形式化一點，$ \rm e(x)=\sum_i(~p(x=i)\cdot i~) $
e.g:luogu3802 小魔女帕琪
這東西我硬推推出來乙個：
\[\frac-6} \\ \end\right) \cdot 7 ! \cdot \prod_=1}^ \mathrm_} \cdot(\mathrm-7) !} !}
\]的東西。感覺還可以？然後其實就是一種思想？此時總方案數\(\rm s\)這東西不應該除以某些奇怪的階乘，或者說，不需要，因為樣本空間可以理解為先發生了\(a\)和發生了\(b\)雖然局面一樣但是概率獨立（大概
e.g.:luogu5489 [lnoi2019]臉滾鍵盤
這題寫過題解，現在複習一遍。大概就是考慮維護乙個字首和，構造數列
\[\rm f_i=f_\cdot base_i+base_i
\]然後我們發現它的級數很美妙：
\[\bold ^f_i=base_1+base_2\cdots+base_n+base_1base_2+base_2base_3\cdots+\prod_^base_i}
\]正好就是我們要求的答案。
但此時直接字首和會有問題，因為多餘的實際上是\(a_0\cdots a_n\)那一堆項，所以需要像雜湊一樣左半邊乘上\(\prod_^base_i+\prod_^base_i+\cdots +\prod_^base_i\)
唔，這個地方其實應用是很廣泛的。大概就是對於兩個事件\(\rm x,y\)，\(\rm e(x+y)=e(x) +e(y)\) 。
對於這東西的證明大概如下：
\[\begin\rm e(x+y) & \sum_ p(x=i \& \& y=j)(i+j)} \\ & \sum_ p(x=i \& \& y=j) i+\sum_ \sum_ p(x=i \& \& y=j) j} \\ & i \sum_ p(x=i \& \& y=j) j+\sum_ j \sum_ p(x=i \& \& y=j) i} \\ & p(x=i) i+\sum_ p(y=j) j} \\ & \end
\]（隨便粘了個過來也⑧太知道對不對）
e.g.:luogu1297 [國家集訓隊]單選錯位
然後其實，\(\rm e_s=e(1)+e(2)+e(3)\cdots\)
觀察\(e(i)\)，實際上只與\(base_i,base_\)有關，那麼每一項的貢獻就是\(\frac)}\)。加起來就好。
e.g.: luogu3924 康娜的線段樹
顯然我們可以知道維護的就是\(\sum_^\frac\) 。這東西看上去並不是很好維護，但是我們可以考慮離線操作。
考慮爆算出一開始的值，這一塊想咋爆算咋爆算。
之後每次修改實際上是在改一些通達葉子結點的鏈。我們單獨考慮每一條這樣的鏈，增加的答案實際上就是每條鏈的上每個點經過的概率。我們考慮把所有結果最後除以\(\rm maxl\)，即深度最大值，那麼我們需要維護的實際上變成了每個點乘上乙個\(2^\)這麼乙個權，一整條鏈深度從高到低正好是一組等比數列，所以就是\(2^-1\)。
但是注意這個結論有瑕疵，因為並不是每個葉節點的深度都是\(\rm maxh\)。而這也比較好辦，考慮對於每條鏈單獨特判一下就好。
3.1 容斥技巧
實際上可以轉化成數學語言：
\[\begin\rm e&\rm =\sum _^p(maxx=i)\times i\\\ & \rm =\sum _^i(p(maxx\leq i)-p(maxx\leq i-1))\\\ & \rm = \sum_^i((\frac)^n - (\frac)^n)\end
\]3.2 等價技巧
實際上是取球問題，大概思路就是取每乙個球是獨立的，這一點在期望的線性性上體現得比較明顯：
還是期望的線性性：
\[e\left(\sum_^ x_\right)=\sum_^ e\left(x_\right)=\sum_^ p(x=i) i=\sum_^ \frac \times i=\frac \sum_^ i=\frac \times \frac=\frac
\]3.3 狀態轉移
……就是遊走模型。大概就是說假設乙個點的出度為\(k\)，他麼他有\(\frac\)的概率走到
考慮分階段進行。根據線性性，\(\rm e(t)=\sum_^ e(x_i)\)。其中\(\rm e(x_i)\)表示從\(i\)第一次走到\(i+1\)的期望步數。
然後我們列方程，考慮一步轉移走到了\(i+1\)還是\(i-1\)：
\[\rm e(x_i)=0.5+0.5\cdot(1+e(x_i)+e(x_i-1))
\]解出來得\(\rm e(x_i)=2+e(x_i-1)\)
完全圖的話，每個點走到每個點的概率都是\(\frac\)。於是這個題就有好多種不同的解法，比如我們用乙個推論「概率為\(p\)的事件期望\(\frac\)次後發生」，就可以直接證明\(\rm e=\it n-1\)
概率期望學習筆記
由於自己初學概率期望,學的都是簡單題，就不分開寫部落格了.非常入門的概率期望題目。但因為題目意思比較噁心.一共有 2 n 個鞋頭，第 i 次操作前還有 2 n i 1 2 個鞋頭，由於我們選出乙個後,它不能和自己綁,也不能和和它在同一條鏈上的綁。所以 include include includeu...
學習筆記 期望問題
數學期望 簡稱期望 是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，它反映了隨機變數平均取值的大小。對於隨機變數 x 它有 n 種可能的取值，取值為 x i 的概率為 p x i 那麼它的數學期望 e x sigma x i p x i 舉個例子 給定乙個隨機變數 x 它有六種可能的取值，分別是 1,2...
學習筆記 概率期望
省流 期望 概率 times 權值 好，開始看題。前置知識 alpha 1 2 alpha 2 2 times alpha 1 alpha 1 3 alpha 3 3 times alpha 2 3 times alpha 1 題目要求長度 n 的 0 1 串中 1 串長度的立方期望，考慮分步驟求解...