期望概率做題筆記

對於求 \(p[i]\)，可以參照第二種情況的思考方式，所以：

\[p[i]=\sum_^)}

\]考慮到複雜度可能比較大，需要預處理一下 \(1-p_i\) 的冪。

[x] cf16e fish

概率狀壓dp（還是第一次見）

看到 \(n\le 18\)，考慮狀壓。設 \(f[s]\) 表示狀態 \(s\) 出現的概率，那麼可以列舉乙隻在狀態 \(s\) 中活著的魚 \(i\) ，再列舉乙隻掛了的魚 \(j\)，則有：

\[f[s]=\sum_}\)（ \(cnt\) 為上一輪中活著的魚的數量）。

邊界狀態為 \(f[(1<，注意從 \((1《開始列舉。

[x] 六省聯考2017 分手時祝願

首先有乙個巧妙的貪心思想：再計算最優方案時，我們可以從大到小列舉，只要碰到亮著的就關掉，因為關掉乙個燈只能改變小於等於自己的燈的狀態，所以我們列舉到的當前亮著的最大的燈是必須要關一次的，而列舉可以通過預處理因數達到 \(n\log_2n\)。

然後考慮dp。設 \(f[i]\) 表示從還必須操作 \(i\) 次到還必須需操作 \(i-1\) 次的期望操作次數，那麼當 \(i\ge k\) 時，有 \(\frac\) 的概率進行一次不必要的操作，即之後還需要花費一次操作來還原，那麼可以得出轉移方程：

\[f[i]=\frac\times(f[i]+f[i+1]+1)+\frac\times 1

\]化簡一下：

\[f[i]=\frac

\]當然，當 \(i\le k\) 時，\(f[i]=1\)。

[x] cnoi2020 線性生物

對於圖上隨機遊走的題目，有一種方法是利用期望的線性性，求出 \(e(x\rightarrow x+1)\) 之後累加起來就可以得到從起點走到終點的期望花費。

本題中，令 \(dx\) 表示 \(x\) 的出度，不難發現：

\[e(x\rightarrow x+1)=\frac+\frac\sum_

\]用 \(\sum_^\) 替換 \(e(y)\) 並化簡可得：

\[e(x\rightarrow x+1)=\frac+\frac\sum_^ e(i\rightarrow i+1)}

\\\frace(x\rightarrow x+1)=\frac+\frac\sum_\sum_^

\\e(x\rightarrow x+1)=dx+\sum_\sum_^

\]用 \(sum[i]\) 記錄一下 \(\sum_^\)，上式即為：

\[e(x\rightarrow x+1)=dx+\sum_

\]可以 \(o(n)\) 求解。