目錄貳、典例營
做過很多期望的題了，但是一直沒有系統地學習過期望，這幾天終於有時間攻堅這個重要但是對我而言難得一匹的問題了......實際上我 dp 也菜得一匹。
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一般我們使用 \(p(x)\) 表示 \(x\) 發生的概率，\(e(x)\) 表示 \(x\) 發生的期望。
我們有兩者的關係：
\[e(x)=\sum[p(x=i)\times \text_i]
\]通俗易懂的講就是 每種情況出現的概率×這種情況的權值 。
對於任意的 \(x,y\)，有
\[e(x+y)=e(x)+e(y)
\]由上也可以推出
\[e(ax+by)=ae(x)+be(y) \\
e(\sum_ia_ix_i)=\sum_e(a_ix_i)
\]特別地，當隨機變數 \(x,y\) 獨立時，有
\[e(xy)=e(x)e(x)
\]對於概率函式 \(p()\)，有
\[p(a|b)=
\]其中，\(a|b\) 表示在 \(b\) 發生的情況下，\(a\) 發生的概率，特別地，如果 \(a,b\) 沒有關係，那麼有 \(p(a|b)=p(a)\).
可以從另外乙個角度去理解。
\(ab\) 都發生的概率就是 \(b\) 發生的概率乘以 \(b\) 發生的情況下 \(a\) 發生的概率，即 \(p(a|b)\times p(b)=p(ab)\)，移項可得 \(p(a|b)=\).就是下面這個等式：
\[p(a_i|h)=
\]實際上比較好理解，用通俗的話說明一下：
在已知 \(h\) 發生的情況下，是 \(a_i\) 的可能性 \(p(a_i|h)\)，其實就是 \(a_i\) 造成 \(h\) 發生的概率 \(p(h|a_i)p(a_i)\) 在 \(h\) 發生的總概率中的佔比，也就是 \(\).也可以看一看這裡 。
\(\text\) 由於我們有了 \(p(a|b)=\) 這個東西了，由 \(e,p\) 的期望，我們亦有
\[e(a|b)=
\]求乙個序列的方差的期望，記為 \(var(x)\)，那麼我們有
\[\begin
var(x)&=\sum_^n(x_i-\overline x)^2 \\
&=^nx_i^2\over n}+^n\overline x^2\over n}-2\overline x^nx_i\over n} \\
&=e(x^2)+\overline x^2-2\overline x^2 \\
&=e(x^2)-\overline x^2 \\
&=e(x^2)-e^2(x)
\end
\]於是，我們得到了
\[var(x)=e(x^2)-e^2(x)
\]考慮乙個點會對答案作出貢獻時需要滿足的條件是什麼 —— 顯然，它在它的祖先之前被選中，這個情景發生的概率是多少呢？顯然 \(1\over \text_i\)，那麼最後的答案其實就是
\[\sum_^n_i}
\]考慮刪除 \(u\) 的時候，有哪些點對他產生了貢獻。
對其有貢獻的點 \(v\)，一定有 \(u-v\) 路徑上之前還沒有點被刪掉過，即 \(u\) 是 \(u-v\) 上第乙個被刪掉的點，設 \(\text(u,v)\) 為 \(u\) 與 \(v\) 路徑上點的個數，包含端點，那麼這個概率是 \(1\over \text(u,v)\)，最後的答案統計，我們就只需要列舉乙個被刪除的點，然後統計它的期望價值即可，用公式寫出來即
\[ans=\sum_^n\sum_^n(u,v)}
\]這個東東好像有點難做，我們可以考慮統計每種路徑的長度，先算出某種長度出現的概率，考慮到路徑長度就是兩條子路徑長度拼起來，這是乙個類似卷積的結構，可以使用澱粉質 + \(\tt fft\) 做，時間複雜度 \(\mathcal o(n\log^2 n)\).
**看這裡。
由貝葉斯公式，我們不難發現乙個點的概率只和在它前面的第乙個已知結局與在它後面的第乙個已知結局有關，也就是說，某個時刻我們已知的 \(t_1,t_2,t_3...t_k\) 將長度為 \(n\) 的遊戲結果序列分成了\(k+1\) 段，每一段都是獨立的，最終答案就是這些區間的期望貢獻之和。
記事件 \(x\) 為小 r 在第 \(x\) 局獲勝的概率，事件 \(l,r\) 為第 \(x\) 局左邊第乙個第 \(l\) 局、右邊第乙個第 \(r\) 局已知事件，那麼我們求的就是 \(p(x|l,r)\)，對這個進行變形
\[\begin
p(x|l,r)&= \tag \\
&= \tag \\
&= \tag \\
&=\times \tag \\
&=\times p(x|l) \tag \\
&=\end
\]對於 \((1)\)，使用了貝葉斯公式進行展開，對於 \((2)\)，使用 \(p(b|a)=\) 這個等式，對於 \((5)\)，使用貝葉斯公式進行合併。
而我們最後要求的，就是
\[\sum_\) 表示第 \(i\) 次
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