省流：期望 \(=\) 概率 \(\times\) 權值
好，開始看題。
前置知識
\((\alpha+1)^2=\alpha^2+2\times \alpha +1\)
\((\alpha+1)^3=\alpha^3+3\times \alpha ^2+3\times \alpha +1\)
題目要求長度 \(n\) 的 \(0-1\) 串中 \(1\) 串長度的立方期望，考慮分步驟求解。
顯然是由上一位得來，只考慮第 \(i\) 位是 \(1\) 的情況，那麼線性期望 \(x_1\) 為：
\[x_1(i)=(x_1(i-1)+1)\times p_i
\]同上一問，依舊是只考慮第 \(i\) 位是 \(1\) 的情況，注意平方的期望與期望的平方存在差異，不能由第一問的結果直接得到。
\[x_2(i)=(x_2(i-1)+2\times x_1(i-1)+1)\times p_i
\]\[x_3(i)=(x_3(i-1)+3\times x_2(i-1)+3\times x_1(i-1)+1)\times p_i
\]第三問的結果仍不能作為答案，原因是我們只考慮最後一位是 \(1\) 的情況，答案實際為前 \(n\) 位的總和，這裡需要分兩部分，成功連線的概率是 \(p_i\)，反之概率是 \(1-p_i\)，於是有：
\[\begin
f(i)&=(f(i-1)+3\times x_2(i-1)+3\times x_1(i-1)+1)\times p_i+f(i-1)\times (1-p_i)\\
&= f(i-1)+(3\times x_2(i-1)+3\times x_1(i-1)+1)\times p_i
\end\]
發現最終答案與第三問無關，可以刪去直接求最後結果。
int n;
db p;
db x1[maxn],x2[maxn],x3[maxn];
int main()
printf("%.1lf\n",x3[n]);
return 0;
}
int n;
char s[maxn];
db len,ans;
int main()
printf("%.4lf\n",ans);
return 0;
}
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