設$e$是$\mathbf^n$的子集合，$f:e\to \mathbf^m$是函式，$x_0\in e$是$e$的內點，並設$l_1:\mathbf^n\to\mathbf^m$和 $l_2:\mathbf^n\to\mathbf^m$都是線性變換.假設$f$在$x_0$處可微，有導數$l_1$,也有導數$l_2$,則$l_1=l_2$.
證明：引理:
(線性逼近)見
根據引理，
\begin\label
f(x)=f(x_0)+l_1(x-x_0)+\epsilon_1(x)||x-x_0||
\end
且\begin\label
f(x)=f(x_0)+l_2(x-x_0)+\epsilon_2(x)||x-x_0||
\end
其中，當$x\to x_0$時，$\epsilon_1(x)\to 0,\epsilon_2(x)\to
0$.\ref-\ref可得
\begin
l_1(x-x_0)-l_2(x-x_0)=(\epsilon_2(x)-\epsilon_1(x))||x-x_0||
\end
即\begin\label
\lim_\frac=0
\end
現在，令$x-x_0=h=(h_1,\cdots,h_n)$,且線性對映$l_1$對應的矩陣為
\begin
\begin
p_&\cdots&p_\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
p_&\cdots&p_\\
\end
\end
線性對映$l_2$對應的矩陣為
\begin
\begin
q_&\cdots&q_\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
p_&\cdots&p_\\
\end
\end
則\ref式變為
\begin
\lim_\frac
p_-q_&\cdots&p_-q_\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
p_-q_&\cdots&p_-q_\\
\end\begin
h_1\\
\vdots\\
h_n\\
\end}}=0
\end
即\begin\label
\lim_\frac
(p_-q_)h_1+\cdots+(p_-q_)h_n\\
\vdots\\
(p_-q_)h_1+\cdots+(p_-q_)h_n\\
\end}}=0
\end
易得，我們總可以想辦法，使得$h_1,h_2,\cdots,h_n$這$n$個數中，有乙個數不為0,而其餘的數都為0，同時讓$h\to 0$.
如果$l_1\neq l_2$,即存在$1\leq i\leq m$,$1\leq j\leq n$,使得$p_-q_\neq 0$，則我們讓$h_j\neq 0$,而讓 $h_1,\cdots,h_,h_,\cdots,h_n$都為0，則\ref變為
\begin
\lim_\frac
*\\\vdots\\
(p_-q_)h_j\\
\vdots\\
*\\\end}=0
\end
而我們知道，
\begin
\lim_\frac-q_)h_j}\neq 0
\end
這樣就匯出了矛盾.由此可見，$l_1\neq l_2$的假設是錯誤的，可見$l_1=l_2$.
陶哲軒實分析 引理7 1 4 證明
a displaystyle sum na i sum pa i sum pa i 其中 m,n,q in mathbb,m leq n p 證明 可見 n 1 leq p 當 p n 1 時，易得 displaystyle sum na i a sum a i 成立.假設當 p k n 1 leq...
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...