考慮具有空序關係的空集$\leq_$（這個關係$\leq_$是空的，因為空集沒有元素）.這個集合是否偏序的？良序的？全序的？給予解釋.證明：首先回顧什麼是偏序集.偏序集指的是乙個集合$x$連同乙個關係$\preceq$.$\forall a,b\in x$,都有$a\preceq b$或者$a\preceq b$不成立.而且滿足（1）$a\preceq a$ (2)若$a\preceq b$且$b\preceq a$,則$a=b$ (3)若$a\preceq b$,$b\preceq c$,則$a\preceq c$.
全序集是特殊的偏序集.全序集裡的任何兩個元素$a,b$,$a\preceq b$和$b\preceq a$必有且僅有乙個成立.而良序集是特殊的全序集，它的任何乙個非空子集都有最小元.
現在考慮空集，由於不存在$a,b\in\emptyset$,所以我們假定存在$a,b\in\emptyset$的時候已經做了乙個錯誤的假設前提.前提是錯誤的，那麼能推出任何錯誤的結論.
所以$\emptyset$既是偏序集，又是全序集，又是良序集.
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
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陶哲軒實分析 習題 12 5 10
度量空間 x,d 叫作是全有界的,如果對於每個 varepsilon 0 都存在正整數 n 和 n 個球 b x varepsilon cdots,b x varepsilon 它們覆蓋 x a 證明 全有界的空間是有界的.begin 證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的...