設$(a_n)_^$是實數列，設$l^$是此序列的上極限，$l^$是此序列的下極限(於是$l^$和$l^$都是廣義實數).
(a)對於每個$x>l^$,存在乙個$n\geq m$,使得$a_n證明:利用反證法結合上極限的定義很容易證明.(b)對於每個$xx$.對於$l^$有類似結論.
證明:證明也很簡單.利用反證法即可.我說證明都很簡單的時候,讀者千萬不要生氣啊,真的是很簡單啊.
證明:利用反證法，再結合$(a)$,這是顯然的.(d)如果$c$是$(a_n)_^$的極限點，那麼$l^\leq c\leq l^$.
證明:根據$(a),(b)$,很容易得證.(e)如果$l^$是有限的，那麼它是$(a_n)_^$的極限點.$l^$的情況類似.
陶哲軒實分析 命題7 18 證明
命題7.1.8 有限求和是定義成功的 設 x 是具有 n n in mathbb 個元素的有限集合.設 f x to mathbb 是函式.並設 g to x 和 h to x 都是雙射.則我們有 sum nf g i sum nf h i 證明 證明使用數學歸納法.當 n 0 時，根據定義，sum...
陶哲軒實分析 命題 13 3 2 最大值原理
設 x,d 是緊緻度量空間,並設 f x to mathbf 是連續函式,那麼 f 是有界的.更進一步,f 在某點 x in x 達到它的最大值,也在某點 x 達到它的最小值.下面我來證明 f 在 x 上能達到最大值 最小值類似,不予詳述 由於 f 在 x 上有界,因此 f 在 x 上有上確界 下證...
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