命題7.1.8：（有限求和是定義成功的）設$x$是具有$n(n\in\mathbb)$個元素的有限集合.設$f:x\to\mathbb$是函式.並設$g:\\to x$和$h:\\to x$都是雙射.則我們有
$$\sum_^nf(g(i))=\sum_^nf(h(i))$$
證明：證明使用數學歸納法.當$n=0$時，根據定義，$$\sum_^nf(g(i))=\sum_^nf(h(i))=0$$假設命題當$n=k(k\geq 0)$時成立，即
$$\sum_^kf(g(i))=\sum_^kf(h(i))$$
則當$n=k+1$時，設$g':\\to x'$和$h':\\to x'$都是雙射.其中$x'$是具有$k+1$個元素的有限集合.當$g'(k+1)=h'(k+1)$時，結合假設，命題顯然成立.當$g'(k+1)\neq h'(k+1)$時，設$g'(k+1)=h'(v)$.$h'(k+1)=g'(e)$.現在對函式$h'$動一點小手術：本來$h'(k+1)=g'(e)$,$h'(v)=g'(k+1)$,現在讓$h'(k+1)=g'(k+1)$,讓$h'(v)=g'(e)$，其它的保持不變.由加法的性質（我以前證過）可得這樣子動了小手術之後$\displaystyle \sum_^f(h'(i))$值不變，而且這個小手術的好處在於把新情況轉化為已經討論過的情況.綜上所述，根據數學歸納法，可得有限求和的定義是成功的.
陶哲軒實分析命題6 4 12
設 a n 是實數列，設 l 是此序列的上極限，l 是此序列的下極限 於是 l 和 l 都是廣義實數 a 對於每個 x l 存在乙個 n geq m 使得 a n證明 利用反證法結合上極限的定義很容易證明.b 對於每個 xx 對於 l 有類似結論.證明 證明也很簡單.利用反證法即可.我說證明都很簡單...
陶哲軒實分析 引理7 1 4 證明
a displaystyle sum na i sum pa i sum pa i 其中 m,n,q in mathbb,m leq n p 證明 可見 n 1 leq p 當 p n 1 時，易得 displaystyle sum na i a sum a i 成立.假設當 p k n 1 leq...
陶哲軒實分析 命題 13 3 2 最大值原理
設 x,d 是緊緻度量空間,並設 f x to mathbf 是連續函式,那麼 f 是有界的.更進一步,f 在某點 x in x 達到它的最大值,也在某點 x 達到它的最小值.下面我來證明 f 在 x 上能達到最大值 最小值類似,不予詳述 由於 f 在 x 上有界,因此 f 在 x 上有上確界 下證...