陶哲軒實分析 習題10 1 3

設$x$是$\mathbf$的子集合，$x_0$是$x$的極限點，並設$f:x\to\mathbf$是函式.如果$f$在$x_0$處可微，那麼$f$也在$x_0$處連續.

證明：$f$在$x_0$處可微，意味著存在實數$l$,使得

\begin

\lim_\backslash\}\frac=l

\end

即\begin

\lim_\backslash\}(f(x)-f(x_0))=\lim_\backslash\}l(x-x_0)

\end(根據的是極限的運算法則)

易得\begin

\lim_\backslash\}l(x-x_0)=0

\end

因此\begin

\lim_\backslash\}(f(x)-f(x_0))=0

\end

因此\begin

\lim_\backslash\}f(x)=f(x_0)

\end(同樣根據極限法則)

即，$f(x)$在$x_0$點連續.$\box$

陶哲軒實分析 習題10 1 3

設 x 是 mathbf 的子集合，x 0 是 x 的極限點，並設 f x to mathbf 是函式.如果 f 在 x 0 處可微，那麼 f 也在 x 0 處連續.證明 f 在 x 0 處可微，意味著存在實數 l 使得 begin lim backslash frac l end 即 begin ...

陶哲軒實分析 習題 13 5 1

設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...

陶哲軒實分析 習題 13 5 1

設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...