設 $x$ 是集合,令 $\tau=\$,證明 $(x,\tau)$ 是拓撲空間(叫平凡拓撲).設 $x$ 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 $x$ 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明:之所以 $(x,\tau)$ 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 $\tau$.其次,$x\bigcap x=x\in\tau$,$x\bigcap \emptyset=\emptyset\in \tau$,$\emptyset\bigcap\emptyset=\emptyset\in\tau$.而且,$x\bigcup x=x\in\tau,x\bigcup\emptyset=x\in\tau$,$\emptyset\bigcup\emptyset=\emptyset\in\tau$.
因此 $(x,\tau)$ 是乙個拓撲.下面證明當 $x$ 的元素多於乙個時,平凡拓撲不能由在 $x$ 上定義乙個度量得到.這是因為當 $x$ 上的元素多於乙個時,產生的拓撲是 $(x,2^x)$,易得不是平凡拓撲.
下面證明 $x$ 是緊緻的,即證明 $x$ 的每個開覆蓋都有有限子覆蓋,這太簡單了,因為 $x$ 本身就覆蓋 $x$,而 $\emptyset$ 卻不能覆蓋 $x$ 中的任意乙個元素.
下面證明 $x$ 是連通的,這是很容易的,因為假設 $x$ 是不連通的,則 $x$ 可以分為兩個互不相交的開集的並,且該兩開集非空,但是 $\emptyset$ 就是空的,矛盾了.
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 12 5 10
度量空間 x,d 叫作是全有界的,如果對於每個 varepsilon 0 都存在正整數 n 和 n 個球 b x varepsilon cdots,b x varepsilon 它們覆蓋 x a 證明 全有界的空間是有界的.begin 證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的...
陶哲軒實分析習題9 1 6
設 x 是 mathbf 的子集合，證明 overline 是閉的.進而證明,若 y 是包含 x 的閉集,那麼 y 也包含 overline 證明 overline 是閉集的證明請見這裡.下面我來證明第二點.begin overline subseteq y rightarrow overline ...