設$e$是$\mathbf^n$的子集，$f:e\to\mathbf^m$是函式，$f$是$e$的子集合，並且$x_0$是$f$的內點，如果在$f$上一切偏導數都存在並且在$x_0$處連續，那麼$f$在$x_0$處可微，而且線性變換由下式確定:
\begin\label
f'(x_0)(v_1,\cdots,v_n)^t=v_1(\frac}(x_0))^t+\cdots+v_n(\frac(x_0))^t
\end
但是，上面的證明還有乙個很大的缺陷.這個缺陷就是:陶哲軒實分析引理17.3.5 中方向導數與全導數的關係成立的前提是全導數存在.而在此題中，全導數的存在性我們還沒有證明.也就是說，上面那個證明的實質，就是在還沒有證明全導數存在性的時候，就給出了全導數的矩陣.而全導數很可能是不存在的.這就是上面那個證明的缺陷所在.事實上，上面那個有缺陷(不能說是錯)的證明，沒有用到題目中的乙個條件:證明：根據《陶哲軒實分析》引理17.3.5，我們可得，
\begin
(\frac(x_0))^=f'(x_0)e_j^
\end
即，\begin\label
(\frac(x_0))^t=f'(x_0)\begin
0\\\vdots\\
1\\\vdots\\
0\\\end
\end(1位於第$j$行)
可見，\begin\label
f'(x_0)=\begin
*&\cdots& \frac(x_0)&\cdots&*\\
*&\cdots &\frac(x_0)&\cdots&*\\
\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\
*&\cdots&\frac(x_0)&\cdots&*\\
\end
\end
其中，矩陣$f'(x_0)$的第$j(1\leq j\leq n)$列為
\begin
\begin
\frac(x_0)\\
\vdots\\
\frac(x_0)\\
\end
\end
這樣，$f'(x)$的矩陣就已經確定下來了，一切都ok了,等式\ref的成立就是顯然的了.
$f$在$x_0$處偏導數連續2012.10.16更新1:
注1:實際上，上面的證明還是稍顯麻煩了.可以更簡單，不用到矩陣.$f'(x_0)(v_1,\cdots,v_n)^t=f'(x_0)(v_1,\cdots,0)^t+\cdots+f'(x_0)(0,\cdots,v_n)^t$.再使用《陶哲軒實分析》引理17.3.5 即可.
陶哲軒實分析定理17 3 8 一
設 e 是 mathbf n 的子集，f e to mathbf m 是函式，f 是 e 的子集合，並且 x 0 是 f 的內點，如果在 f 上一切偏導數都存在並且在 x 0 處連續，那麼 f 在 x 0 處可微，而且線性變換由下式確定 begin label f x 0 v 1,cdots,v n...
陶哲軒實分析定理17 3 8 二
我的目標是證明這個命題 設 e 是 mathbf n 的子集，f e to mathbf m 是函式，f 是 e 的子集合，且 x 0 是 f 的內點，如果在 f 上一切偏導數 frac 都存在，且在 x 0 處連續，則 f 在 x 0 處可微.下面，我先給出第一階段的成果.我還會寫第三篇博文，來徹...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...