度量空間 $(x,d)$ 叫作是全有界的,如果對於每個 $\varepsilon>0$,都存在正整數 $n$ 和 $n$ 個球 $b(x^,\varepsilon),\cdots,b(x^,\varepsilon)$,它們覆蓋 $x$.
(a)證明:全有界的空間是有界的.\begin
證明是簡單的,只要反覆利用絕對值不等式即可.這個命題說明全有界的概念比
有界的概念要強.
\end
(b)證明命題 12.5.5 的下述加強形式:如果 $(x,d)$ 是緊緻的,那麼它是完備的並且是全有界的.\begin首先完備性已經證明.現在我們證明全有界性.這根據有限覆蓋定理是很容易證明的,我們以 $x$ 中的每個點為圓心做乙個半徑為 $\varepsilon$ 的開球,如果這是有限個球,則目的已經達到,如果這是無限個球,則根據有限覆蓋定理,可得這無限個開球中有有限個開球照樣覆蓋 $x$.
\end
(c)如果 $x$ 是完備的並且是全有界的,則 $x$ 是緊緻的.\begin即證明 $x$ 的每個序列都有收斂子列.這是容易的,因為假若 $x$ 的某個序列在 $x$ 中沒有收斂子列,說明這個序列中的每個元素外面都包了一層殼,使得序列中的任意兩個元素的距離都大於給定的乙個實數,而我們是用有限個半徑足夠小(要多小就能有多小)的開球覆蓋了 $x$,說明至少有乙個開球內分布著該序列中的無限個點,這兩者之間有矛盾.
\end
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析 習題 13 5 1
設 x 是集合,令 tau 證明 x,tau 是拓撲空間 叫平凡拓撲 設 x 含有多於乙個的元素,證明平凡拓撲不能由在 x 上定義乙個度量得到.證明這個拓撲空間既是緊緻的又是連通的.證明 之所以 x,tau 是拓撲空間,是因為首先空集和全集都屬於 tau 其次,x bigcap x x in tau...
陶哲軒實分析習題9 1 6
設 x 是 mathbf 的子集合，證明 overline 是閉的.進而證明,若 y 是包含 x 的閉集,那麼 y 也包含 overline 證明 overline 是閉集的證明請見這裡.下面我來證明第二點.begin overline subseteq y rightarrow overline ...