(a)$\displaystyle\sum_^na_i+\sum_^pa_i=\sum_^pa_i$.其中$m,n,q\in\mathbb,$$m\leq n< p$.
證明：可見$n+1\leq p$.當$p=n+1$時，易得$\displaystyle\sum_^na_i+a_=\sum_^a_i$成立.假設當$p=k(n+1\leq k)$時，命題也成立，即$\displaystyle \sum_^na_i+\sum_^ka_i=\sum_^ka_i$.則當$p=k+1$時，$$\sum_^na_i+\sum_^a_i=\sum_^na_i+(\sum_^ka_i+a_)=(\sum_^na_i+\sum_^ka_i)+a_=\sum_^ka_i+a_=\sum_^a_i$$根據數學歸納法，可見命題對於一切整數$p\succ n$成立.
引理7.1.4(c)
設$m\leq n$是整數，並設$a_i,b_i$是對應於每個整數$m\leq i\leq n$的實數.那麼我們有
$$\sum_^n(a_i+b_i)=\sum_^na_i+\sum_^nb_i$$
證明：當$m=n$時，顯然$a_m+b_m=a_m+b_m$.設當$n=k(m\leq k)$時，命題成立，即
$$\sum_^k(a_i+b_i)=\sum_^ka_i+\sum_^kb_i$$
則當$n=k+1$時，
$$\sum_^(a_i+b_i)=\sum_^(a_i+b_i)+(a_+b_)=(\sum_^ka_i+\sum_^kb_i)+(a_+b_)=(\sum_^ka_i+a_)+(\sum_^kb_i+b_)=\sum_^a_i+\sum_^b_i$$
根據數學歸納法，命題對於一切整數$n\geq m$成立.
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...
陶哲軒實分析引理8 4 5
設 e 是實直線的乙個非空子集，且 e 有上界，那麼存在乙個序列 a n 它的元素都在 e 中，並且 lim a n sup e 證明 由於 e 有上界，所以有上確界.若 sup e 就是 e 的最大值 max e 則令 forall 1 leq i leq n,a i max e 即可.若 sup...