陶哲軒實分析引理 11 1 4

設$x$是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.

(a)$x$是有界的並且是連通的.

(b)$x$是有界區間.

證明:當$x$是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.

當$x$是非空集合時，

(a)$\rightarrow$(b):由於$x$非空，且$x$有界，因此$x$有上確界$\sup (x)$和下確界$\inf(x)$.當$\sup (x)=\inf(x)$時，易得$x$是單點集，此時$x$是有界區間.當$\sup(x)>\inf(x)$時，

若$\sup(x),\inf(x)\in x$,則根據連通的定義可知$[\inf x,\sup(x)]\subseteq x$.且易得$x\subseteq [\inf x,\sup x]$.因此$x=[\inf x,\sup x]$,可見，$x$是有界區間.

若$\sup (x)\not\in x,\inf (x)\in x$,則易得$[\inf x,\sup x)\subseteq x$(為什麼?),且易得$x\subseteq [\inf x,\sup x]$,因此$[\inf x,\sup x)=x$.

若$\sup x\not\in x,\inf x\not\in x$,易得$x=(\inf x,\sup x)$(為什麼?).

若$\sup x\in x,\inf x\not \in x$,易得$x=(\inf x,\sup x]$.

(b)$\rightarrow $(a)是容易的.