令$e=\\subset \mathbb^2$，則$e$是可測集.證明：令$w=\\subset\mathbb^2\}$.令$t=\\subset\mathbb^2$.設$a$是$\mathbb^2$上任意乙個子集.
如果$a\subset e$,則顯然$m^*(a)=m^*(a\bigcap e)+m^*(a\backslash e)$.
如果$a\bigcap e=\emptyset$,則顯然也有$m^*(a)=m^*(a\bigcap e)+m^*(a\backslash e)$.
否則，用紅色線分割$e$.紅色線是$x$軸.
現在我們證明
引理1：$m^*(a\backslash t)=m^*(a)$.這是因為根據外測度的單調性，$m^*(a\backslash t)\leq m^*(a)$.根據外測度的次有限可加性,$m^*(a\backslash t)+m^*(t)\geq m^*(a)$,而且$m^*(t)=0$,可見$m^*(a\backslash t)\geq m^*(a)$.綜上，$m^*(a\backslash t)=m^*(a)$.所以，$m^*(a)=m^*(a\backslash t)=m^*(a\bigcap e)+m^*(a\bigcap w)\box$(後面那個等號為什麼成立?)
下面我證明，$m^*(a\bigcap w)=m^*(a\bigcap (w\bigcup t))=m^*(a\backslash e)$.證明和引理1的證明大同小異(同時還要用一下摩根律).因此，$m^*(a)=m^*(a\backslash e)+m^*(a\bigcap e)$.綜合(1),(2),(3),可知$e$是可測集.
注1:由於$e$是可測集，$t$也是可測集(為什麼$t$是可測集?)，根據可測集的並仍是可測集，可得$e\bigcup t$也是可測集.注2:若$[a,b]$是$\bf r$上的閉區間，且$a,b\in\bf r$,則$[a,b]$在$\bf r$上可測.
證明:閉區間$[a,b]=[a,+\infty)\bigcap (-\infty,b]$,而根據注1,可知$[a,+\infty)$和$(-\infty,b]$都是可測集,根據可測集的並仍是可測集，可得$[a,+\infty)\bigcap (-\infty,b]=[a,b]$是可測的.
注3:設$a,b\in\bf r$,則$(a,b)$是$\mathbb$上的可測集.
證明：根據注2，閉區間是可測集，而有限個點不會影響點集的可測性，因此$(a,b)$也是可測集.
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...
陶哲軒實分析引理 11 1 4
設 x 是實直線的子集合，那麼下述兩命題是邏輯等價的.a x 是有界的並且是連通的.b x 是有界區間.證明 當 x 是空集時，兩個命題顯然是邏輯等價的.當 x 是非空集合時，a rightarrow b 由於 x 非空，且 x 有界，因此 x 有上確界 sup x 和下確界 inf x 當 sup...
陶哲軒實分析引理8 4 5
設 e 是實直線的乙個非空子集，且 e 有上界，那麼存在乙個序列 a n 它的元素都在 e 中，並且 lim a n sup e 證明 由於 e 有上界，所以有上確界.若 sup e 就是 e 的最大值 max e 則令 forall 1 leq i leq n,a i max e 即可.若 sup...