1.如果$a_1\subseteq a_2\subseteq a_3\cdots$是可測集的增序列，那麼我們有證明：首先，由$\sigma$代數性質可知$\bigcup_^a_i$是可測集.$$m(\bigcup_^a_i)=\lim_m(a_i)$$
看下面的不相交集合列：
$$a_0,a_1\backslash a_0,a_2\backslash a_1,a_3\backslash a_2,\cdots,a_\backslash a_n,\cdots$$
其中$a_0=\emptyset$.
易得$$\bigcup_^(a_\backslash a_i)=\bigcup_^a_i$$
因此$$m(\bigcup_^a_i)=m(\bigcup_^(a_\backslash a_i))=\sum_^m(a_\backslash a_i)$$(根據可測集的可數可加性).而$$\sum_^m(a_\backslash a_i)=\sum_^(m(a_)-m(a_i))\mbox=\lim_m(a_i)$$
證明：首先根據$\sigma -$代數性質知$\bigcap_^a_i$是可測集.2.如果$a_1\supseteq a_2\supseteq a_3\supseteq a_4\cdots$是可測集的減序列，且$m(a_1)<\infty$.則
$$m\left(\bigcap _^a_j\right)=\lim_m(a_j)$$
現在我要證
$$a_1\backslash\bigcup_^(a_i\backslash a_)=\bigcap _^a_i$$
證：根據摩根律，$$a_1\backslash\bigcup_^(a_i\backslash a_)=\bigcap_^\left(a_1\backslash (a_i\backslash a_)\right)$$
下面我要證$$\bigcap_^\left(a_1\backslash (a_i\backslash a_)\right)=\bigcap_^a_i$$
證明：證明是容易的.首先，我要證$\bigcap_^a_i\subset \bigcap_^(a_1\backslash (a_i\backslash a_))$.設$x\in\bigcap_^a_i$,即$\forall j\in\mathbb^+$,$x\in a_j$.下面我證$\forall k\in\mathbb^+$,$x\in a_1\backslash (a_k\backslash a_)$.這是顯然的.
所以，$$m(a_1\backslash\bigcup_^(a_i\backslash a_))=m(\bigcap_^a_i)$$
而根據測度的有限可加性，$$m(a_1\backslash\bigcup_^(a_i\backslash a_))=m(a_1)-m(\bigcup_^(a_i\backslash a_))$$(由於$m(a_1)<\infty$,因此減法是有意義的.)
而由於$a_1\backslash a_2$,$a_2\backslash a_3$,$a_3\backslash a_4$,$\cdots$兩兩不相交，故根據1，
$$m(\bigcup_^(a_i\backslash a_))=m(a_1)-\lim_(a_j)$$
故$$m(\bigcap_^a_j)=m(a_1\backslash\bigcup_^(a_i\backslash a_))=\lim_a_j$$
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