1.若$e$是$r^n$中的可測集，則$r^n\backslash e$也為可測集.證明：$e$在$r^n$中可測，說明$\forall a\subset r^n$,$m^*(a)=m^*(a\bigcap e)+m^*(a\backslash e)$.下面我來證明
$$m^*(a)=m^*(a\bigcap(r^n\backslash e))+m^*(a\backslash(r^n\backslash e))$$
根據摩根律,即證
\beginm^*(a)=m^*((a\bigcap r^n)\backslash (a\bigcap e))+m^*((a\backslash
r^n)\bigcup (a\bigcap e))\\=m^(a\backslash e)+m^(a\bigcap e)\end
證畢.
2.若$e_1,e_2$是$\mathbb^n$中的可測集，則$e_1\bigcap e_2$也是$\mathbb^n$中的可測集.證明：如圖
已知兩個圓面代表可測集，下面證兩圓相交部分為可測集.令長方形代表$\mathbf^n$中的任意子集,即證明$$m^*(3)+m^*(1\bigcup 2\bigcup 4)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 3\bigcup 4)$$(灰色代表1，黃色代表2，紅色代表3，棕色代表4)
由於右邊的圓是可測集，因此
$$m^*(2)+m^*(1\bigcup 4)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 4)$$
故只需證
$$m^*(3)+m^*(2)+m^*(1\bigcup 4)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 3\bigcup 4)$$
由於左邊的圓代表可測集，因此
$$m^*(2)+m^*(3)=m^*(2\bigcup 3)$$
故只需證
$$m^*(2\bigcup 3)+m^*(1\bigcup 4)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 3\bigcup 4)$$
這是容易的，因為右邊的圓代表可測集.綜上，兩圓相交部分代表可測集.於是當$e_1$和$e_2$為可測集的時候,$e_1\bigcap e_2$是可測集.
下面我們來證
3.若$e_1,e_2$是$\mathbb^n$中的可測集，則$e_1\bigcup e_2$也是$\mathbb^n$中的可測集.證明：也就是要證
$$m^*(1\bigcup 2\bigcup 3)+m^*(4)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 3\bigcup 4)$$
由於左邊的圓為可測集，因此
$$m^*(1\bigcup 3)+m^*(2)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 3)$$
因此只需證
$$m^*(1\bigcup 3)+m^*(2)+m^*(4)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 3\bigcup 4)$$
由於右邊的圓為可測集，因此
$$m^*(2\bigcup 4)=m^*(2)+m^*(4)$$
因此只需證
$$m^*(1\bigcup 3)+m^*(2\bigcup 4)=m^*(1\bigcup 2\bigcup 3\bigcup 4)$$
這是容易的，因為左邊的圓代表可測集.
4.可測集的有限可加性.若$(e_j)_$是互不相交的可測集的有限族，而$a$是任意乙個集合（不必是可測的），那麼證明：先考慮簡單情形總不會有錯.我們考慮當$j$只有兩個元素的情形.由於$e_2$是可測集，因此$m^*((a\bigcap e_1)\bigcup (a\bigcap e_2))=m^*(a\bigcap e_1)+m^*(a\bigcap e_2)$.可見，當$j$含有兩個元素時，命題是成立的.利用數學歸納法，可知當$j$裡含有有限個元素時，命題都成立.$$m^*(a\bigcap(\bigcup_e_j))=\sum_m^*(a\bigcap e_j)$$
注4.1.當$a=\mathbb^n$時，我們可以得到可測集的有限可加性.
5.若$a\subseteq b$是兩個可測集，則$b\backslash a$也是可測集，且證明：由於$a$是可測集，因此根據1，$\mathbb^n\backslash a$也是可測集.易得$$m(b)-m(a)=m(b\backslash a)~~~~~~~~~~~\mboxa
$$b\backslash a=b\bigcap (\mathbb^n\backslash a)$$
由於兩個可測集的交是可測集，因此$b\bigcap (\mathbb^n\backslash a)$是可測集，因此$b\backslash a$也是可測集.
注5.1.$m(a)
6.設$(e_j)_$是互不相交的可測集的可數集.那麼集合$\bigcup_e_j$是可測的，且$m(\bigcup_e_j)=\sum_m(e_j)$.證明：首先，我要證明$t=\bigcup_e_j$是可測集.就要證明，$\forall a\subset \mathbb^n$,我們有$m^*(a)=m^*(a\backslash t)+m^*(a\bigcap t)$.
根據摩根律,也就是要證明
$$m^*(a)=m^*(a\backslash t)+m^*(\bigcup_(a\bigcap e_j))$$
根據外測度的次有限可加性，可得
$$m^*(a)\leq m^*(a\backslash t)+m^*(\bigcup_(a\bigcap e_j))$$
所以我們的目標是證明
$$m^*(a)\geq m^*(a\backslash t)+m^*(\bigcup_(a\bigcap e_j))$$
根據關於勒貝格外測度的一條等式，也就是要證明
$$m^*(a)\geq m^*(a\backslash t)+\lim_m^*((\bigcup_^n(a\bigcap e_i)))$$
根據外測度的單調性
$$m^*(a\backslash t)+\lim_m^*(\bigcup_^n(a\bigcap e_i))\leq m^*(a\backslash \lim_(\bigcup_^ne_j))+\lim_m^*(\bigcup_^n(a\bigcap e_i))$$
故我們只用證
$$m^*(a)\geq m^*(a\backslash \lim_(\bigcup_^ne_j))+\lim_m^*((\bigcup_^n(a\bigcap e_i)))$$
就可以了.而這是顯然的.因為由於性質3，$\forall n\in\mathbb^+,\bigcup_^ne_j$是可測集，所以
$$m^*(a\backslash \lim_(\bigcup_^ne_j))=m^*(a)-\lim_m^*(a\bigcap(\bigcup_^ne_i))$$
所以$$m^*(a)=m^*(a\backslash \lim_(\bigcup_^ne_j))+\lim_m^*(a\bigcap(\bigcup_^ne_i))$$
因此，$\bigcup_e_j$是可測的.
現在我們證明，$m(\bigcup_e_j)=\sum_m(e_j)$這很簡單，因為根據關於勒貝格外測度的一條等式，
$$m(\bigcup_e_j)=\lim_m^*(\bigcup_^ne_j)$$
再由性質4，可得
$$m(\bigcup_e_j)=\lim_m^*(\bigcup_^ne_j)=\lim_\sum_^nm^*(e_j)$$
注6.1.根據這個性質，我們還能證明：若$\forall j\in\mathbb^+$,$e_j$是可測集.則$$\bigcap_^+}e_j$$
也是可測集.
證明：設$x=\mathbb^n$.根據性質1，只用證明$$x\backslash(\bigcap_^+}e_j)=\bigcup_^+}(x\backslash e_j)$$是可測集.而由於$\forall j\in\mathbb^+,e_j$是可測的，所以根據性質1，$x\backslash e_j$也是可測的.根據性質6，可知$\bigcup_^+}(x\backslash e_j)$是可測的.
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