設$f$在$[a,b]$上定義且有界，對於每乙個$\varepsilon>0$定義集合$j_$如下：
$$j_=\$$
則$j_$是閉集.
證明：要證明$j_$是閉集，即證明$j_$的所有邊界點都屬於$j_$.
1..若不存在邊界點，則顯然是閉集.
2.若邊界點是孤立點，則邊界點顯然屬於$j_$.
3.若邊界點是聚點，即證明若$x\in [a,b]$,對於任意給定的正實數$\alpha$,總存在$x'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(x')<\varepsilon$，總存在$y'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(y')\geq \varepsilon$.則$w_f(x)\geq \varepsilon$.
證明是很容易的，因為假設$w_f(x)<\varepsilon$,則容易得出「總存在$y'\in (x-\alpha,x+\alpha)$,使得$w_f(y')\geq \varepsilon$」這一條不成立.可見，$j_$的所有邊界點都屬於$j_$,可見$j_$是閉集.
注1:下面這個命題仍成立：設$f$在$[a,b]$上定義且有界，對於每乙個$\varepsilon>0$定義集合$j_$如下：證明和上面的完全類似.$$j_=\$$
則$j_$是閉集.
注2:下面這個命題也成立：設$f$在$[a,b]$上定義且有界，對於每乙個$\varepsilon>0$定義集合$j_$如下：
$$j_=\$$
則$j_$是開集（事實上，$j_$的孤立點根本不存在）.
證明：即證明$j_$所有的邊界點都不屬於自己.這是很容易證明的.
注3:下面這個命題也成立：設$f$在$[a,b]$上定義且有界，對於每乙個$\varepsilon>0$定義集合$j_$如下：
$$j_=\$$
則$j_$是開集.（同樣，$j_$的孤立點根本不存在）
注4:以上所有命題中，似乎$f$在$[a,b]$上有界這個條件都不是必要的.
數學分析摘要
對於任何非空有上界的集合 a 其上界b的集合b含有最小元b 也就是說，存在唯一的元素b b使得 1 b 是集合a的上界，即對於一切a a 成立b a 2 b 是集合 b 的最小元素，也就是說對於一切b b,有b b 元素b 叫做集合a的上確界 記作 b sup a 同樣的，對於有下界的集合 a 其下...
工科數學分析之數學感悟
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訊號處理與數學分析
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