內積空間需要滿足三條公理：
兩個向量的內積可以度量向量之間的夾角：
賦範空間需要滿足三條公理：
向量空間具有向量的加法、標量與向量的乘法，內積定義了兩個向量的乘法，可以度量兩個向量之間的夾角，範數能夠對向量的長度、距離、鄰域等進行度量。
向量內積定義：
稱為典範內積，採用典範內積的有限維向量空間或者稱為n階euclidean空間。
函式內積定義：
式中，x(t)、y(t)為複數域的兩個連續函式，定義域為[a,b]。
在實或復內積空間裡，範數具有以下性質：
當且僅當時等號成立。
常用的向量範數：
矩陣的內積定義為：
vec(a)表示對矩陣a的向量化。
矩陣的範數需要滿足：定義：
特別的：
即：誘導和範數分別為該矩陣的各列元素絕對值之和的最大值和最大絕對行和，範數則是矩陣a的最大奇異值。誘導和範數分別稱為絕對列和範數及絕對行和範數，範數稱為譜範數。
證明過程參考：
定義：矩陣a作用於向量x，得到的線性變換結果為向量ax，其長度為，線性變換矩陣可視為一線性放大器運算元，相當於a產生的最大放大倍數。
矩陣範數的性質：
向量與矩陣範數
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矩陣論筆記（五） 向量範數與矩陣範數
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二範數 特徵值的意義 矩陣範數 向量範數
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