關於兩個四元數的乘法，網上查了一大堆，沒乙個說明白的。
我就想知道給我兩個四元數，我該怎麼算出來它們的乘積。
這麼簡單的需求都沒法找到答案，實在對不起四元數的江湖地位。
要想計算四元數的乘法，首先需要知道四元數常見的表示方法：
其中複數式、向量式和三角式基本是一回事，都是把四元數寫成乙個標量和乙個向量的和的形式。指數式和矩陣式就是一種表示方法，涉及到數學意義和運算還是主要用前三種。
補充說明：
這裡的i上面有箭頭，不是複數i，而是乙個普通的三維向量。
三角式具有明確的幾何意義，其中向量i是三維空間中的旋轉軸，2θ是旋轉角，具體見本文的「四元數的用途」。
因此四元數cosθ/2+i*sinθ/2就表示「繞向量i旋轉θ角」，這樣看起來幾何意義更明確。
所以用θ/2，並不是一定要除以2，只是除了之後有更好的幾何意義。
指數式類似於三角式（參考的複數的尤拉公式），本身只是一種表示方法，沒什麼具體的作用。
總結，四元數的任何表示方法都和複數沒有關係，不要把向量i和複數i弄混。
在向量式表達方式中，i1，i2，i3是三個正交的單位向量，也可以用i，j，k表示。
這個結果這麼複雜，而且看起來毫無規律，當然不能死記硬背。
其實就是簡單的展開相乘，注意涉及到i*j的時候按照叉乘右手定則判斷，即i*j=k；遇到i*i的時候按照複數運算，或者說按照點乘取負計算，即i*i=-1
當然也可以按照下面的乘數表進行運算×1
ijk1
1ijk
ii-1k
-jjj-k
-1ikk
j-i-1例如，(2+i)(i+j)=2*i+2*j+i*i+i*j=2i+2j-1+k=-1+2i+2j+k
從上面可以看出，四元數的乘法既不是叉乘，也不是點乘，是叉乘和點乘的混合，涉及到正交向量相乘如i*j時是叉乘，涉及到相同向量相乘如i*i時，卻是點乘取負，或者看作複數相乘。
因此四元數乘法和叉乘類似，沒有乘法交換律，如i×j=k，但是j×i=-k。
用複數式計算四元數乘法十分繁瑣，只適合手動計算較簡單的四元數乘法。
向量式四元數相當於把複數式四元數中的q1*i+q2*j+q3*k看成乙個整體的向量q，這樣乘法的表達形式會簡潔很多，如下：
其實就是展開相乘，注意q和p向量相乘的結果等於叉乘的結果減去點乘的結果。
為什麼還會多出一項q和p的點乘呢？其實在上文複數式乘法中已經介紹了，i*i不是按照叉乘等於0，而是按照點乘取負進行計算，即i*i=-1。所以向量式的四元數乘法中才會多出一項點乘。
向量式的四元數乘法也適用於三角式相乘。
為了方便計算機運算四元數乘法，我們把複數式乘法的結果寫成矩陣的形式，方便記憶和程式設計。但運算本質還是前兩種。『
上述兩種矩陣都是反對稱矩陣，保留的乘子分別是p和q，矩陣形式也略有不同。
還是要注意qp ≠ pq
順便提一下，四元數的實際意義還是用來表示向量旋轉或者座標系轉換比較方便，這主要是利用四元數三角式的性質
或者
這就把向量旋轉的座標轉換變成了四元數相乘。在此之前，向量旋轉的座標變換都是用方向余弦矩陣配合尤拉角實現的。其在四旋翼中的應用可以參考我的另一篇博文：四旋翼與四元數學習筆記
可以看出，四元數的向量部分直接對應了旋轉軸，標量和向量部分共同決定了旋轉角，這是比尤拉角三個角表示旋轉更為接近本質的方法。
相較於尤拉角求旋轉向量座標的方法，
1、四元數方法不需要進行求三角函式的運算，因此運算精度更高；
2、四元數也不存在尤拉角的框架自鎖問題。
ps：框架自鎖問題如下
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用 表示四元數是為了紀念其發明者 hamilton.其中 可以根據 來推導以下式子 跟複數類似，我們可以把四元數寫成 它的基是 或者 類似複數，四元數的模長 範數norm 定義為 也可寫成 同複數的乘法不同，四元數乘法不遵守交換律，所以有左乘和右乘的說法，結合律和分配律還是滿足的。類似的，我們也可以...
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