希爾伯特空間是歐幾里德空間的直接推廣。定義設h是乙個實的線性空間，如果對h中的任何兩個向量x和y，都對應著乙個實數，記為(x，y)、滿足下列條件：①對h中的任何兩個向量x，y，有(x，y)=(y，x);②對h中的任何三個向量x、y、z及實數α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);③對h中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要條件是x=0。則(x，y)稱為是h上的乙個內積，而h稱為內積空間。如果定義線性賦範空間。完備的內積空間稱為希爾伯特空間。希爾伯特空間的概念還可以推廣到複線性空間上。歐幾里德空間是希爾伯特空間的乙個重要特例，希爾伯特空間的另乙個最重要的特例是l(g)，設g是n維歐幾里德空間中的乙個有界閉域， 定義在g上的滿足⨜g|f(x)|dx希爾伯特空間有許多與歐幾里德空間相似的性質，例如，在希爾伯特空間中，可以定義向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一許瓦茲不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希爾伯特空間中，存在著完全的標準正交系，希爾伯特空間中的任一向量可以依任一完全的標準正交系分解。原理在乙個實向量空間或復向量空間h上的給定的內積 < x,y > 可以按照如下的方式匯出乙個範數(norm)：巴拿赫空間，但是反之未必。任何有限維內積空間(如歐幾里德空間)都是希爾伯特空間。但從實際應用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價值。傅利葉分析的乙個重要目的是將乙個給定的函式表示成一族給定的基函式的和(可能是無窮和)。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何乙個希爾伯特空間都有一族標準正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基中的元素或其倍數的和。(之後的內容與上述內容有重複之嫌，主要是一些性質與拓展)內積空間和希爾伯特空間設h是實數域或複數域c上的線性空間，如果對於h中任何兩個向量x和y都對應著乙個數(x,y)∈c，並且滿足下列條件：①正定性，對一切x∈h，(x,x)≥0，而且(x,x)=0當且僅當x=0；②線性，對x，y，z∈h和α，β∈c，成立(αx+βy，z)=α(x,z)+β(y,z)；③(共軛)對稱性，對x，y∈h成立(x,y)=(y,x)(實數域)或(x,y)=(y,x)的共軛(複數域)；則稱(x,y)為h中x,y的乙個內積。定義了內積的空間h稱為內積空間。在內積空間h中定義函式||x||=的開方為x的範數(‖x‖即x的「長度」)，這時，h成為乙個賦範空間。如果作為賦範空間，h是完備的(見巴拿赫空間)，就稱h為希爾伯特空間。平行四邊形公式和柯西-施瓦茨不等式在內積空間中，由內積匯出的範數必滿足類似於平面幾何學中的平行四邊形公式，即對
h中任何
h，若它的範數滿足上述平行四邊形公式，則這個範數必是由定義在
h上的某個內積匯出的範數。內積還有重要的柯西-施瓦茨不等式：|(x,y)|<=||x||*||y||。正交與勾股定理在希爾伯特空間
h中，如果
x，y滿足(
x,y)=0，就稱
x和y正交(或直交)，記為
x⊥y。當
x⊥y時，成立勾股定理：||x+y||^2=||x||^2+||y||^2。如果
x和h的子集
m中任何元都正交，就稱
x和m正交，記為
x⊥m。與
m正交的所有元素的集合記為
m寑。投影定理設
m是希爾伯特空間
h的凸閉子集，則對
h中每個向量
x，必存在
m中惟一的
y，使得||x-y||取到y在
m中變化時的最小值。這個性質稱為變分定理。特別，當
m是h的閉線性子空間時，
z=x-
y必與m正交，即對於閉線性子空間
m，分解
x=y+
z不僅惟一，而且
z⊥y。
這就是投影定理。
其中，y 稱為
x 在
m 中的投影(分量)。正交系設是內積空間
h中一族彼此不同的向量，如果其中任何兩個向量都正交，即當
k≠j時，(
ek，ej)=0，則稱是一正交系。如果其中每個向量的範數又都是1，即對一切
k，(ek,
ek)=1，則稱是規範正交系。對於希爾伯特空間
h的規範正交系,如果包含的最小閉子空間就是
h，就稱為
h的完備規範正交系。設是規範正交系，則
h中任一向量
x在ek方向的投影，即
x在生成的一維子空間上的投影，就是σ(
x,ek)
ek；而
x在生成的閉子空間
m上的投影就是
h。顯然有||x||^2<=σ|(x,ek)|^2，即向量 x在某個子空間m上的分量「長度」永不超過x的長度，它稱為貝塞爾不等式。如果是完備規範正交系，那麼成立著
x=σ(x,ek)ek(傅利葉展開式)，||x||^2=σ|(x,ek)|^2(帕舍伐爾等式)。里斯表示定理希爾伯特空間
h上每個連續線性泛函
f，對應於惟一的
y∈h，使
f(x)=(
x,y)，並且||f||=||y||，這就是里斯的連續線性泛函表示定理。因此，希爾伯特空間的共軛空間與自身(保持範數不變)同構(實際上是一種共軛線性同構)，即
h=h*。
參考：希爾伯特空間/5630049?fr=aladdin希爾伯特空間是泛函分析的內容，數學的浩瀚結構框架似乎正在被我一點點的探索出來。
不為別人，就為自己，學自己想學的東西。
加油！
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