歐幾里得空間
，希爾伯特空間，巴拿赫空間或者是拓撲空間都屬於函式空間。函式空間 = 元素 + 規則 ，即乙個函式空間由元素 與元素所滿足的規則 定義，而要明白這些函式空間的定義首先得從距離，範數，內積，完備性等基本概念說起。
定義了範數，是絕對值（形式|a-b|）的延伸，是對向量、函式和矩陣定義的一種距離度量形式，如距離d(a,b)=||a−b||。
距離的集合⟶ 度量空間 +線性結構⟶線性度量空間
這時的內積空間已經有了距離、長度、角度等，有限維的內積空間也就是我們熟悉的歐氏空間。
古希臘數學家歐幾里得建立了距離和角之間聯絡的法則——歐幾里得幾何，由二維平面幾何可擴充套件成三維，再到有限維度抽象幾何空間，稱為歐幾里得空間。其中維度是描述空間內乙個點所需參量的個數——座標數，例如三維空間中的點a=(x1,x2,x3)。
若把人的活動約束在學校，那麼就是學校空間，同理，對點和幾何結構進行各種約束，就構成了不同的數學空間。
至此，在各種約束條件下，有限維度+度量+線性+範數+內積=歐幾里得空間。看似複雜的定義，其實就是一種約束的空間。
當歐幾里德空間不再侷限於有限維，就是希爾伯特空間——無限維度完備線性內積空間。完備指的是，空間中的極限運算衍生的所有可能點都包含於空間本身——柯西序列等價於收斂序列，簡言之，合理即存在。
無限維度的向量（x1,x2,x3...xn）意味著有任意個獨立座標，可以用函式表達，兩個無限維度的向量的內積等價於兩個函式的積分。例如傅利葉變換，一種頻率函式對應乙個座標，時域中每個點都可以在頻域中展開成各種頻率的函式。如此一來，歐幾里得空間就演變成希爾伯特空間。
距離⟶範數⟶內積
向量空間+範數⟶ 賦範空間+線性結構⟶線性賦範空間+內積運算⟶內積空間+完備性⟶希爾伯特空間
內積空間+有限維⟶歐幾里德空間
賦範空間+完備性⟶巴拿赫空間
希爾伯特空間
什麼是賦範線性空間 內積空間，度量空間，希爾伯特空間 現代數學的乙個特點就是以集合為研究物件，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同乙個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須...
希爾伯特空間
上海交通大學公開課 數學之旅 總結 距離 範數 內積 線性空間 範數 賦範空間 線性結構 內積 內積空間 完備性 希爾伯特空間 線性空間 又稱為向量空間，關注的是向量的位置。知道基便可確定空間中元素的位置。線性空間定義了加法和數乘運算。如果我們想要知道向量的長度怎麼辦。定義範數，引入賦範線性空間。賦...
再生核希爾伯特空間1 希爾伯特空間
再生核希爾伯特空間首先一定是希爾伯特空間，所以先介紹希爾伯特 hilbert 空間 設 e 非空集合，h 為定義在e 上的線性空間 h h c h,h h,h 1 2h 若h是完備的，則按照上述定義的h 是hilbert 空間.設h為有限維復函式空間，基 f 1,f2 f n 則 f h可以寫做f1...