向量空間乙個最大的特徵是對加法運算和數乘運算封閉。n維向量空間的定義是n維實向量全體構成的集合，同時考慮到向量的線性運算，成為實n維向量空間，用r
n\r^n
rn表示，顯然r
n\r^n
rn中任意兩個向量的和向量還是r
n\r^n
rn中的向量，r
n\r^n
rn中任意乙個向量與乙個實數的乘積也是r
n\r^n
rn中的向量。
定義了距離後，我們再加上線性結構，如向量的加法、數乘，使其滿足加法的交換律、結合律、零元、負元；數乘的交換律、單位一；數乘與加法的結合律（兩個）共八點要求，從而形成乙個線性空間，這個線性空間就是向量空間。
歐氏空間也稱為歐幾里得空間，是帶有「內積」的實數域上的一類向量空間。引入內積的目的是能夠計算兩點間的距離和夾角。向量空間中的向量對應於歐幾里得平面中的點，在向量空間中的加法運算對應於歐幾里得空間中的平移。
歐氏空間的定義：
設v是數域p上的線性空間，定義乙個代數運算（v×v－>p），記為 (ɑ,ß) 。如果(ɑ,ß)滿足下列條件：
1) 對稱性：(ɑ,ß) = (ß,ɑ)；
2) 可加性：(ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ)；
3) 齊次性：(kɑ,ß) = k(ɑ,ß)；
4) 非負性：(ɑ,ɑ)≥0，當且僅當ɑ=0時(ɑ,ɑ)=0，
其中k是數域p中的任意數，ɑ、ß、γ是v中的任意元素，則稱(ɑ,ß)為ɑ與ß的內積，定義了內積的線性空間v稱為內積空間，稱實數域r上的內積空間v為euclid空間（歐式空間）。
內積空間是增添了乙個額外的結構的向量空間。這個額外的結構叫做內積，或標量積，或點積。這個增添的結構允許我們談論向量的角度和長度。
希爾伯特空間即是完備的內積空間，首先說明一下完備性。完備空間或者完備度量空間是指空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內。柯西序列中的元素隨著序數的增加而愈發靠近。更確切的說，在去掉優先個元素後，可以使得餘下的元素中的任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正常數。
歐幾里德空間的乙個推廣，其不再侷限於有限維的情形。又稱無窮維歐化空間，
與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是乙個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引伸而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是乙個完備的空間，其上所有的柯西列等價於收斂列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項式表示的傅利葉級數和傅利葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公設化數學和量子力學的關鍵性概念之一。
線性完備內積空間稱作希爾伯特空間
線性完備賦範空間稱作巴拿赫空間
有限維線性內積空間稱作歐幾里得空間
參考鏈結1
參考鏈結2
參考鏈結3(這篇寫的比較詳細)
向量空間 內積空間 歐式空間以及希爾伯特空間的關係
在數學中有許多空間表示，比如向量空間 內積空間 歐式空間以及希爾伯特空間等。具體的距離 實際上距離除了我們經常用到的直線距離外，還有向量距離，函式距離 曲面距離 折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關係類似於蘋果 香蕉等與水果的關係，前面是具體的事物，後面是抽象的概念。距離就是乙個抽象的概念，其...
向量空間 內積空間 歐式空間以及希爾伯特空間的關係
在數學中有許多空間表示，比如向量空間 內積空間 歐式空間以及希爾伯特空間等。1 距離的定義 具體的距離 實際上距離除了我們經常用到的直線距離外，還有向量距離，函式距離 曲面距離 折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關係類似於蘋果 香蕉等與水果的關係，前面是具體的事物，後面是抽象的概念。距離就是乙...
向量空間 內積空間 歐式空間以及希爾伯特空間的關係
在數學中有許多空間表示，比如向量空間 內積空間 歐式空間以及希爾伯特空間等。具體的距離 實際上距離除了我們經常用到的直線距離外，還有向量距離，函式距離 曲面距離 折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關係類似於蘋果 香蕉等與水果的關係，前面是具體的事物，後面是抽象的概念。距離就是乙個抽象的概念，其...