極限是數學分析中的基本概念之一。實數列的收斂，函式列的均勻收斂，在平面區域中復變函式列的內閉均勻收斂等等各種極限概念，都可以統一在下面要介紹的度量空間內按距離收斂的概念之中。分析數學方面各個學科都是以某種函式空間為物件而研究在這種空間上的某種數**算的。設r
是乙個非空的集，假如對於
r中任意一對元素
x ，
y，都給定乙個實數ρ(
x,y)
與它們對應，而且適合如下的條件：
（1）ρ(x
,y)>=
0 ，又ρ(
x,y)
=0的充要條件是x=
y ；
（2）成立三角不等式： ρ(
x,y)
≤ρ(x
,z)+
ρ(y,
z)(z
∈r)
那麼稱ρ(x
,y) 是兩點x ，
y之間的距離，又稱
r 按照距離ρ(
x,y)
成為度量空間或者距離空間，記為(r
,ρ) ，或者簡單地記作r 。
r中的元素成為點。
由性質(1)與(2)可以推出，距離還具有對稱性，即在性質二中將z取x：對
r 中任意的x，
y ，成立著：
（3）ρ(x
,y)=
ρ(y,
x)。 在假設(1)的前提下，下面的不等式(4)是與三角不等式(2)等價的。
（4）對任何x,
y,z∈
r ， |ρ
(x,y
)−ρ(
y,z)
|≤ρ(
x,z)
. 度量空間
r 的任何非空子集
m，就以
r 中距離ρ作為
m 上的距離，顯然(m
,ρ)也是度量空間，稱(m
,ρ) 為r的子空間。
我們知道，平面上的點列
趨向於極限點
x 的充要條件為 ρ(
x(n)
,x)→
0(n→
∞)同樣，其他極限我們可以通過定義合適的距離
ρ 。為了深入研究各種極限過程，把在具體空間中所定義的距離函式
ρ 抽象化，推而廣之，對一般點集引進點與點之間的距離，這就產生了距離空間或者度量空間的概念。
只有度量空間的概念，對於分析數學的各分支還不夠具體。因為通常所考察的空間，例如函式空間和序列空間，除去可引進極限概念外，他們同時又是乙個代數系統，就是說空間中的元素間存在某種代數關係。當只著眼於空間中的代數結構，即元素之間的加法運算以及數與空間中元素的乘法運算時，就必須引入線性空間（或稱向量空間）的概念。 設r
為一集。假如在
r中規定了線性運算——元素的加法運算以及實數（或複數）與
r 中元素的乘法運算，滿足下述條件： i.r
關於加法成為交換群。就是說對於任意一對x,
y∈r ，都存在u∈
r ，記作u=
x+y ，稱它是x,
y 的和。這個運算適合
（1）y+x
=x+y
; （2）(x+
y)+z
=x+(
y+z)
; （3）r
中存在唯一的元素0（稱它是零元素），使得對於任何x∈
r成立著x+
0=x ；
（4）對於
r 中每一元素
x，存在唯一的元素x′
∈r（對應於
x ），滿足x+
x′=0
，稱x′ 是
x 的負元素，記作−x
。 ii.對於任何x∈
r 及任何實（或復）數
a ，存在元素ax
∈r，稱a
x 是
a 和
x的數積，適合
（5）1⋅x
=x;
（6）a(b
x)=(
ab)x
,a,b
是實（或
復）數 ;
（7）(a+
b)x=
ax+b
x,a(
x+y)
=ax+
ay。
那麼， 稱
r 為線性空間或向量空間，其中的元素也成為向量。
如果數積運算對於實數有意義，就稱
r是實（線性）空間；如果數積對複數有意義，稱
r 是復（線性）空間。每個復空間顯然也是實空間。設r
是實（或復）數域
f 上的乙個線性空間。如果
r上的實值函式p(
⋅)滿足下列條件：
（1）p(x
)≥0,
x∈r ;
（2）p(α
x)=|
α|p(
x),x
∈r,α
inf ;
（3）p(x
+y)≤
p(x)
+p(y
),x,
y∈r ;
我們稱p(x
) 是
x 的半範數或稱為擬範數。
如果半範數p(
x)又滿足如下條件：
（4）如果p(
x)=0
，那麼x=
0 ， 便稱p
(x) 是
x 的範數，通常也記
x的範數為||
x|| ，而且
r 按這個範數||
⋅||稱作賦範線性空間，簡稱做賦範空間。
在任何乙個賦範線性空間
r 中，可以由範數引出兩點間的距離：對於x,
y∈r，令 ρ(
x,y)
=||x
−y||
, 那麼從範數的四個條件容易驗證||
x−y|
| 滿足距離的兩個條件。於是我們可以對每個賦範線性空間按上述引入距離，使之成為度量空間。這樣一來，就可以在賦範線性空間空引入極限概念。
對有限維空間來說，向量的範數相當於向量的模長。但是，在有限維歐幾里得空間中還有乙個很重要的概念——兩個向量的夾角，特別是兩個向量的正交。有了它們，就有勾股定理，向量的投影等。而在賦範線性空間中，並沒有引進這個概念。另外，我們還知道，向量的模長與夾角可以用更本質的量——向量的內積來描述。 設λ
是實數域或複數域，
h 是
λ上的線性空間，如果對於
h 中任何兩個向量x,
y，都對應著乙個數(x
,y)∈
λ ，滿足條件：
（1）共軛對稱性：對任何x,
y∈h,
(x,y
)=(y
,x) ；
（2）對第一變元的線性：對任何x,
y,z∈
h 及任何兩數α,
β∈λ ，成立著 (α
x+βy
,z)=
α(x,
z)+β
(y,z
);（3）正定性：對於一切x∈
h,(x
,x)≥
0 ,而且(x
,x)=
0 的充要條件是x=
0 。
那麼稱(⋅，
⋅) 為h
中的內積，如果
h上定義了內積，當va
rlam
bda 是實數（或複數）域時，稱
h 為實（或復）內積空間。
由條件（1）（2）可以得到條件（4）：
（4）內積(⋅
，⋅)對於第二個變元來說，是共軛線性的：即對任何x,
y,z∈
h 及任何兩數α,
β∈λ ，成立著： (z
,αx+
βy)=
α(z,
x)+β
(z,y
), 當
h 是實空間時，內積對第二變元也是線性的。
完備的內積空間稱為hilbert(希爾伯特)空間。其上所有的柯西序列等價於收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。有限維的內積空間稱為歐幾里得空間，
n維的歐幾里得空間是完備的。將有限維推廣到無限維後，若是完備的，則得到希爾伯特空間。隨著維數的增加，空間的變換將呈現出複雜性。對照一維空間與多維空間，可以看出，在適當的拓撲結構下，一維實空間的許多拓撲性質在多維空間中得到保持。事實上，由定義可以看出，rn
中的許多問題可以轉化為一維實空間中的n個相關問題。在有限範疇內，個數的增加不會影響這種「同步」的定性性質。但是，當個數「達到」無窮多時，要取得「同步」是一件非常困難的事。由此可以預見，無窮維空間將呈現出非常複雜的拓撲性質。
希爾伯特空間
什麼是賦範線性空間 內積空間，度量空間，希爾伯特空間 現代數學的乙個特點就是以集合為研究物件，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同乙個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須...
希爾伯特空間
歐幾里得空間 希爾伯特空間，巴拿赫空間或者是拓撲空間都屬於函式空間。函式空間 元素 規則 即乙個函式空間由元素 與元素所滿足的規則 定義，而要明白這些函式空間的定義首先得從距離，範數，內積，完備性等基本概念說起。定義了範數，是絕對值 形式 a b 的延伸，是對向量 函式和矩陣定義的一種距離度量形式，...
希爾伯特空間
上海交通大學公開課 數學之旅 總結 距離 範數 內積 線性空間 範數 賦範空間 線性結構 內積 內積空間 完備性 希爾伯特空間 線性空間 又稱為向量空間，關注的是向量的位置。知道基便可確定空間中元素的位置。線性空間定義了加法和數乘運算。如果我們想要知道向量的長度怎麼辦。定義範數，引入賦範線性空間。賦...