希爾伯特空間
希爾伯特空間是歐幾里德空間的直接推廣。對希爾伯特空間及作用在希爾伯特空間上的運算元的研究是泛函分析的重要組成部分。
設h是乙個實的線性空間，如果對h中的任何兩個向量x和y，都對應著乙個實數，記為(x，y)、滿足下列條件：
①對h中的任何兩個向量x，y，有(x，y)=(y，x);
②對h中的任何三個向量x、y、z及實數α、β，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z);
③對h中的一切向量x，均有(x，x)≥0，且(x，x)=0的充分必要條件是x=0。則(x，y)稱為是h上的乙個內積，而h稱為內積空間。
如果定義 ，則在‖0‖下，h構成乙個線性賦範空間。
完備的內積空間稱為希爾伯特空間，希爾伯特空間的概念還可以推廣到複線性空間上。
歐幾里德空間是希爾伯特空間的乙個重要特例，希爾伯特空間的另乙個最重要的特例是l(g)，設g是n維歐幾里德空間中的乙個有界閉域， 定義在g上的滿足⨜g|f(x)|dx<+∞的勒具格可測函式全體記為l(g)，在l2(g)中引入內積(f，g)=⨜gf (x)g(x)dx，則l(g) 是乙個希爾伯特空間，l(g)是實用中最重要和最常用的希爾伯特空間。
希爾伯特空間有許多與歐幾里德空間相似的性質，例如，在希爾伯特空間中，可以定義向量正交、正交和、正交投影的概念，柯西一許瓦茲不等式成立、勾股定理和投影定理成立。在可分希爾伯特空間中，存在著完全的標準正交系，希爾伯特空間中的任一向量可以依任一完全的標準正交系分解。
在泛函分析中，詳細地研究了希爾伯特空間自共軛運算元的理論，特別是自共軛運算元的譜理論，這一理論在經典數學的不少領域中有廣泛的應用。需要特別指出的是，自共軛運算元的譜理論，為量子力學的發展，提供了適合的工具。
理論數學、應用數學和物理中的許多問題，在希爾伯特空間中，可得到較好的處理，因此，希爾伯特空間成為泛函分析中最重要的和最常用的一類空間，它在許多其他數學分支、理論物理和現代工程技術理論中，也得到了廣泛的應用。
希爾伯特空間
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希爾伯特空間
歐幾里得空間 希爾伯特空間，巴拿赫空間或者是拓撲空間都屬於函式空間。函式空間 元素 規則 即乙個函式空間由元素 與元素所滿足的規則 定義，而要明白這些函式空間的定義首先得從距離，範數，內積，完備性等基本概念說起。定義了範數，是絕對值 形式 a b 的延伸，是對向量 函式和矩陣定義的一種距離度量形式，...
希爾伯特空間
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