希爾伯特內積空間

希爾伯特內積空間：知乎-如何理解希爾伯特內積空間-timxp的回答-

希爾伯特內積空間：

我們一般接觸的是線性空間（向量空間） ，首先看線性空間和各種空間之間的關係：

1.線性空間（向量空間）

線性空間又稱作向量空間，關注的是向量的位置，對於乙個線性空間，知道基（相當於三維空間中的座標系）便可確定空間中元素的座標（即位置）；線性空間只定義了加法和數乘運算。

2.賦範線性空間

定義了範數的線性空間

3.內積空間

定義了內積的線性空間

4.歐式空間

定義了內積的有限維實線性空間

5.banach空間

（定義完備，可在空間內研究序列的收斂性）

完備的賦範線性空間

6.hilbert空間

完備的內積空間

完備性是指，任何乙個柯西序列都收斂到此空間中的某個元素，即它們與某個元素的範數差的極限為0。

柯西序列是指，乙個序列它的元素隨著序數的增加而愈發靠近。更確切地說，在去掉有限個元素後，可以使得餘下的元素中任何兩點間的距離的最大值不超過任意給定的正的常數。柯西列的定義依賴於距離的定義，所以只有在度量空間中柯西列才有意義。

乙個重要性質是，在完備空間中，所有的柯西列都有極限，這就讓人們可以在不求出這個極限（如果存在）的情況下，利用柯西列的判別法則證明該極限是存在的。

希爾伯特空間

什麼是賦範線性空間 內積空間，度量空間，希爾伯特空間 現代數學的乙個特點就是以集合為研究物件，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同乙個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。既然是研究集合，每個人感興趣的角度不同，研究的方向也就不同。為了能有效地研究集合，必須...

希爾伯特空間

歐幾里得空間 希爾伯特空間，巴拿赫空間或者是拓撲空間都屬於函式空間。函式空間 元素 規則 即乙個函式空間由元素 與元素所滿足的規則 定義，而要明白這些函式空間的定義首先得從距離，範數，內積，完備性等基本概念說起。定義了範數，是絕對值 形式 a b 的延伸，是對向量 函式和矩陣定義的一種距離度量形式，...

希爾伯特空間

上海交通大學公開課 數學之旅 總結 距離 範數 內積 線性空間 範數 賦範空間 線性結構 內積 內積空間 完備性 希爾伯特空間 線性空間 又稱為向量空間，關注的是向量的位置。知道基便可確定空間中元素的位置。線性空間定義了加法和數乘運算。如果我們想要知道向量的長度怎麼辦。定義範數，引入賦範線性空間。賦...