數學空間希爾伯特空間

想要理解數學空間和希爾伯特空間，我們的思路是：

現代數學——>集合——>線性空間（向量空間）及基的概念——>賦範空間——>內積空間——>希爾伯特空間

於是，我們想要理解希爾伯特空間，首先需要從距離開始，然後說說線性空間，到範數空間，再到內積空間，最後一直到歐式空間，希爾伯特空間和巴拿赫空間。

現代數學最大的特點就是以集合為研究物件，將不同問題的本質抽取出來，變成同一類問題。而集合分為兩種：有線性結構的集合（線性空間/向量空間）；以及有度量結構的集合（度量空間）。要說歐式空間和希爾伯特空間，則主要說線性空間。線性空間則需要從基的概念、及距離說起，再到內積空間和希爾伯特空間：

（1）基：線性空間主要是研究集合的描述，為了將集合描述清楚，則引入和基的概念，相當於引入了三維空間。所以要描述線性空間只需要知道基即可，而要知道線性空間中的元素，則只需要知道基及對應的座標即可。

（2）距離：但即使是引入了基的概念，也只能認為元素是三維空間的乙個線段，沒有長度。為了量化元素，於是引入範數的概念，用於給元素賦予特殊的「長度」。此時被賦予了範數的線性空間（向量空間）就是賦範線性空間。

（3）內積空間：到了賦範線性空間，元素有了長度但沒有角度。為了解決這個問題。於是引入了內積的概念，進行了內積運算的線性賦範空間則是內積空間。

函式的內積：

1）條件：對稱性；第一元的線性性質（即=a）；正定性

2）函式的內積：可以理解為將函式按照x進行過取樣——>得到乙個函式的向量表示：

(f(x0),f(x1),f(x2),⋯,f(xn))

當然，取樣間隔變為無窮小時，函式就可以看作是乙個無窮維的向量表示：

=∫f(x)g(x)dx

3）也可以用泰勒級數和傅利葉級數展開來看待內積：

泰勒級數的概念：用0∞

'>∞

0作為基底表示的乙個空間

傅利葉級數展開：將乙個函式用三角函式的形式進行無窮維的展開

4）由內積可以匯出範數，但範數不能匯出內積：原因是||x||2=

（4）希爾伯特空間：內積空間的元素則既有長度也有角度可以被度量，可以引入極限的概念。但是抽象空間的極限與實數空間不同，為了確定極限來自於集合，於是引入完備性概念。完備的內積空間就是希爾伯特空間。

更高階的內容都是基於距離，在距離上施加不同約束條件形成的：

1）距離 ——>範數——>內積

2）內積向量+範數——>賦範空間

3）賦範空間+線性結構——>線性賦範空間（線性的賦範空間也是度量空間（有線性結構的度量空間））

4）線性賦範空間+內積運算——>內積空間（內積空間是賦範空間加上角度的概念）

5）內積空間+完備性——>希爾伯特空間（希爾伯特空間是完備的內積空間）

除了希爾伯特空間，數學空間還有歐式空間、巴拿赫空間、拓撲概念等，這裡不做詳細說明，但給出基本邏輯：：

1）內積空間+有限維——>歐幾里得空間

2）賦範空間+完備性——>巴拿赫空間

3）距離——>弱化（只保留極限和連續概念）——>拓撲概念

另外還有需要注意的乙個地方是：線性空間與度量空間是兩個獨立的概念。xi

}0∞'>

數學空間 希爾伯特空間