1.1 矩陣是「變換」,或者是「座標系」
簡單來講,乙個a左乘乙個矩陣x相當於在x身上施加行變換,a右乘乙個矩陣x(xa)相當於對x施加列變換。」座標系「的含義是ax = b, 其中a為矩陣, x, b為向量,這個算式當然可以理解為a對x進行行變換,但是也可以理解為,在座標系a的衡量下,乙個神奇的東西的座標為x,在i(單位矩陣)的衡量下,這個神奇的東西的座標為b。具體的闡述見:孟巖
blog,
理解矩陣(一)(二)(三)
。1.2 矩陣與向量乘(ax = b)
gilbert 講了兩種,row picture & column picture.
視角1:row picture
這種視角寫出來就是方程的形式
圖1:row picture
每乙個方程就是乙個平面,聯立這些方程的意思就是求這些平面的交點。
視角2:column picture (b是a中各個列的線性組合)
這種視角應該是更常用的一種。
圖2:column picture
1.3 矩陣和矩陣乘 (ab = c)
我們知道c中的c(i,j) = a(i, :) * b(:, j),這是我們通常的視角。還有其他的更有助於我們理解矩陣的視角嗎?
視角1:c是a中各個列的線性組合(對a做列變換)
換句話說就是a去乘以b中的每一列,從而得到c中的每一列(這也印證了c的列數是如何得到的,當然還有行數)。
圖3:視角1(看一眼 ax = b column picture, aha!)
視角2:c是b中各個行的線性組合(對b做行變換)
換句話說,b去乘a中的每一行,從而得到c中的每一行,如圖4。
圖4:視角2
視角3:c是a中i列和i行相乘以後得到的矩陣的和,如圖5。
注意是 i 和 i,不是i,j之類的。大家可以把
gilbert
的例子寫一下,用不同的視角,熟練了才能真正運用視角。注意到下圖左面的列向量乘以行向量,無論從行變換或列變換的角度來看,得到的結果的向量空間都是指向同乙個方向的。
圖5:視角3
視角4:分塊,這塊就不多說了。但是不是怎麼顯而易見的。
2. 感悟
以後寫。。。
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