既然行列式是描述線性變換的一種方式，行列式是方陣a的乙個函式，簡寫為det(a)或者|a| ，取值為乙個標量。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣（行列式就是行列式中的行或列向量所構成的超平行多面體的有向面積或有向體積），或者，在 n 維歐幾里得空間中，行列式描述的是乙個線性變換對「體積」所造成的影響（線性變換下的圖形面積或體積的伸縮因子）。具體來講，行列式有三個基本的特徵（更多的性質可以從這三條引申出來）
1）det(i)=1-------------在任意維度的空間中，單位矩陣的行列式為1
2）交換行，行列式的值的符合會改變。---------行列式是有方向的。用左乘為例說明：
這兩個結果矩陣的行是互換的，對應到兩個變換矩陣
我們說這兩個矩陣的行列式符合相反。放到二維座標上，可以看出變換的結果對稱於原點，方向不同。
--------行列式對於行的線性變換運算是相容的。
關於行列式幾何解釋的更多說明，可以參看以下的文章
由行列式的性質，可以推導出行列式的計算公式。一般來說，有三種方法來計算行列式：
a)取每行不同一列的值相乘，再對於每一項的符合加以調整後求和
上公式表示：
1.每一行取不同列的值相乘，再相加。
2.表示符號。用排列的逆序數的奇偶性決定是「+」或「-」。如1243，就是奇排列。
b)引入代數余子式
在n階行列式d中劃去任意選定的k行、k列後，餘下的元素按原來順序組成的n-k階行列式m，稱為行列式d的k階子式a的余子式。如果k階子式a在行列式d中的行和列的標號分別為i_1,i_2,⋯i_k和j_1,j_2,⋯j_k。則在a的余子式m前面新增符號：
後,所得到的n-k階行列式，稱為行列式d的k階子式a的代數余子式。
關於代數余子式，有兩個性質：
n階行列式等於它的任一行(列)的所有元素與其對應的代數余子式的乘積之和：
n階行列式 的任一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數余子式乘積之和等於零：
c)將矩陣利用消元法轉化成三角陣
根據消元法，a=lu，其中u是上三角陣
則，det(a)=det(u)=d_1d_2*⋯d_n
總體來說，行列式雖然是描述線性變換下的圖形面積或體積的伸縮因子，這一點從行列式的性質可以明顯看出來，而在計算的過程中更多的是行列式所代表矩陣自身的面積，體積等的大小。而這也正是行列式的兩種意義。
2、特徵向量和特徵值
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