線性代數複習提綱
第一章 矩陣和行列式
1.矩陣及其運算
基本概念：
1.元素全為零的矩陣成為零矩陣，記為o
2.只有一列的矩陣成為列矩陣，只有一行的矩陣成為行矩陣
3.行數和列數相等的矩陣稱為方陣，n x n矩陣也稱為n階矩陣或n階方陣
4.規定一階矩陣是乙個數，即(a)1 x 1=a
5.從乙個方陣的左上角至右下角的斜線稱為該方陣的主對角線。主對角線以外的元素全部為零的方陣稱為對角矩陣
6.主對角線上元素相同的對角矩陣稱為數量矩陣。主對角線上的元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣，記為e或i。n階單位矩陣記為en或in
7.當且僅當矩陣a的列數等於矩陣b的行數時，矩陣a與b才能相乘，ab才有意義
8.矩陣乘法一般不滿足交換律
9.將a的行換成同序數的列而得到的n x m矩陣稱為矩陣a的轉置矩陣
10.設a是方陣，如果a^t(a的轉置) = a，那麼稱a為對稱矩陣，如果a^t(a的轉置) = -a，那麼稱a為反稱矩陣
2.分塊矩陣與矩陣的初等變換
基本概念：
1.如果矩陣a與矩陣
d = [ er o ]等價，那麼稱矩陣d為矩陣a的標準型
[ o o ]
初等行變換方法：
1.從左到右，一列一列的處理
2.盡量避免分數運算
具體步驟：
1.看本列中非零行的首非零元，若有a是其餘數公因子，則用這個數把本列中其餘的數消成零
2.否則，化出乙個公因子
eg: 2 2 3 r1
1 -1 0 r2
-1 2 1 r3
沒有公因子，用r2+2r3,r2+r3，得：
0 6 5
0 1 1
-1 2 1
第二列中，1為公因子，有
r1 - 6r2: 0 0 -1
r2: 0 1 1
r3 - 2r2: -1 0 -1
再乘以 -1： 0 0 1
0 1 1
1 0 1
最後由 r1: 0 0 1
r2-r1: 0 1 0
r3-r1: 1 0 0 交換行，得到最終結果：
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3.行列式
基本概念：
4.矩陣的秩
5.可逆矩陣
第二章 向量
1.向量及其線性運算
基本概念：
1.數域上的n個數a1,a2, ... an組成的乙個有序陣列(a1,a2, ... ,an)稱為數域f上的乙個n維向量，其中n稱為該向量的維度，a1,a2, ... ,an稱為該向量的分量,ai稱為該向量的第i個分量
2.行向量可以看成行矩陣，行矩陣也可以看成行向量，而列向量可以看成列矩陣，列矩陣也可以看成列向量
3.所有分量都是零的向量稱為零向量，記為0
2.向量組的線性相關性
基本概念：
1.定義1：對於數域f上的向量組 α1，α2，... ，αm，β，如果存在數域f中的數k1，k2，... ，km使得
β=k1α1+k2α2+ ... +kmαm，那麼稱β是向量組α1，
α2，... ，αm的乙個線性組合，此時也稱β能由向量組α1，
α2，... ，αm線性表出
2.定義3：對於數域f上的向量組
α1，α2，... ，αm，如果存在數域f中的m個不全為零的數k1，k2， ... ，km，使得 k1
α1+k2α2+ ... +kmαm = 0，那麼稱向量組
α1，α2，... ，αm線性相關
3.下面兩個命題彼此等價：
（1）向量組
α1，α2，... ，αm線性無關
（2）如果k1
α1+k2α2+ ... +kmαm = 0，那麼k1 = k2 = ... = km = 0
4.設α1，
α2，... ，αm為fn中的列向量組，矩陣 a = [ α1
α2 ... αm
]，則向量組α1，
α2，... ，αm線性相關的充分必要條件是
r(a)
推論1：設
α1，α2，... ，αm為矩陣a中的行向量組，
則向量組α1，
α2，... ，αm線性相關的充分必要條件是
r(a)
推論2：設
α1，α2，... ，αn為n階矩陣a中的行（列）向量組，則向量組α1，
α2，... ，αn線性相關的充分必要條件是|a| = 0
推論3：
設α1，
α2，... ，αm為fn中的向量組，m>n，則向量組α1，
α2，... ，αm線性相關
5.定理：fn中的向量組
α1，α2，... ，αm（m>1）線性相關的充分必要條件是α1，
α2，... ，αm中至少有乙個向量可由該向量組中的其餘m-1個向量線性表出
推論：向量組
α1，α2，... ，αm（m>1）線性無關的充分必要條件是α1，α2，... ，αm中任意乙個向量都不能由該向量組中的其餘m-1個向量線性表出
3.向量組的秩
基本概念：
4.向量空間
第三章 線性方程組
1.線性方程組的判定定理
基本概念:
1.下圖為數域f上的乙個n元線性方程組，簡稱線性方程組，aij(i = 1,2, ... ,m;j = 1,2, ... ,n)是數域f中的數，稱為線性方程組的係數，aij的第乙個指標i表示它在第i個方程，第二個指標j表示它是未知量xj的係數，而數域f中的數b1,b2, ... ,bm稱為線性方程組的常數項
如果常數項b1,b2, ... ,bm全為零，那麼稱其為齊次線性方程組
如果常數項
b1,b2, ... ,bm不全為零，那麼稱其為非齊次線性方程組
2.齊次線性方程組解的結構
3.非齊次線性方程組解的結構
第四章 方陣對角化和二次型
1.內積
2.特徵值與特徵向量
3.方陣對角化
4.二次型
線性代數複習
線性方程組 linear equations 形如a1x1 a2x2 a3x3 anxn b的方程是線性方程，其中a1到an通常是已知數。線性方程組是由乙個或幾個包含相同變數的x1.x2.xn的線性方程組成的。線性方程組的一組解是一組數 s1.s2.sn 解得集合稱之為解集。具有相同解集的線性方程組...
線性代數複習
正交矩陣 它的轉置矩陣就是它的逆矩陣，qtq qqt i 對角矩陣 方陣m所有非主對角線元素全等於零的矩陣。主對角線元素 元素兩個下標相等 svd，奇異值分解 矩陣m u vt，u和v是正交矩陣，是非負對角陣，對角線上的元素即為m的奇異值。m 是m n,u是m m,是m n,vt是n n 特徵值與特...
演算法複習提綱
tips 1.遇到要求連續取一段數的問題可以考慮用佇列，滿足條件則壓入佇列，不滿足則將隊首移除。蝸牛旅行問題 2.對於大量重複的計算可以考慮進行預處理，比如找質數，可以先將小於n的質數全部找出來，不然每次碰到乙個數n，就迴圈去除比n小的數，看是否有餘數來確定這個數是不是質數太麻煩，且消耗大。找質數問...