關於矩陣的逆有很多性質和定理，例如，可逆矩陣一定是方陣、滿秩矩陣、非奇異矩陣，可逆矩陣的行列式的值不為零等等。在證明乙個矩陣是不可逆矩陣時，strang教授講了一種幾何的思路：
根據可逆矩陣的定義，如果方陣a∗b
=i\mathbf * \mathbf=\mathbf
a∗b=
i，則a
\mathbf
a和b\mathbf
b互稱逆矩陣。下面是乙個二維不可逆矩陣的例子，有矩陣a=[
1224
]\mathbf=\begin1&2\\2&4\end
a=[12
24]
，如果a
\mathbf
a可逆，則有[12
24]∗
b=[1
001]
\begin1&2\\2&4\end * \mathbf=\begin1&0\\0&1\end
[1224
]∗b
=[10
01
]，對矩陣[12
24]\begin1&2\\2&4\end
[1224
]中的兩個列向量作某種線性組合會得到列向量[10
]\begin1\\0\end
[10
]。從圖上可以很明顯看出來，不管是什麼線性組合都無法得到列向量[10
]\begin1\\0\end
[10
]，所以，矩陣a
\mathbf
a不是可逆矩陣。
strang教授把大部分抽象的矩陣運算用幾何的思維呈現，非常有利於理解矩陣。
我們可以用高斯消元法（gauss elimination）求解方程組的解，在求矩陣的逆時則可以用高斯-若爾當消元法（gauss-jordan elimination）。
方程組可以用a∗x
=b\mathbf * \mathbf = \mathbf
a∗x=
b來表示，通過對增廣矩陣[a|
b]\begin\mathbf\text\mathbf\end
[a|b]
進行初等變換，然後再用「回代」法即可求得方程組的解。在求矩陣的逆時（a∗b
=i\mathbf * \mathbf=\mathbf
a∗b=
i），可以把矩陣b
\mathbf
b看成多個列向量（x
\mathbf
x）的組合，那麼求解矩陣a
\mathbf
a的逆就可以看成是同時求解多個方程組，即通過初等變換將增廣矩陣[a|
i]\begin\mathbf\text\mathbf\end
[a|i]
變換成[i|
b]\begin\mathbf\text\mathbf\end
[i|b]
，得到的矩陣b
\mathbf
b即為a
\mathbf
a的逆矩陣。
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