希爾伯特變換(ht)是指描述乙個以實數值載波做調製的訊號之複數包絡，相移是通過希爾伯特變換器來實現的，訊號經希爾伯特變換後在頻域各頻率分量的幅度保持不變，但相位出現90度相移，正頻率之後90度負頻率超前90度，希爾伯特變換器又成為90度相位器。用希爾伯特變換描述幅值調值或相位調值的包絡，瞬時頻率和瞬時相位會使分析更加簡單，在通訊系統中有著重要的理論意義和使用價值，在數字訊號處理中可以做成濾波器。
乙個連續時間訊號x(t)的希爾伯特變換等於該訊號通過具有衝激響應h(t)=1/πt的線性系統以後的輸出響應。如公式1所示。與卷積的概念進行對比，可以發現上面的hilbert變換的表示式實際上就是將原始訊號和訊號h(t)=1/πt做卷積的結果。
對h(t)做傅利葉變換，可以得到公式(2)
2 )
從頻譜上來看，這個濾波器將我們的原始訊號的正頻率部分乘以-j，也就是說，保持幅度不變的條件下，將相位移動了-π/2，而對於負頻率成分，移動了π/2。在這裡對原始訊號做1到4次hilbert變換的頻譜示意圖，如下所示，可以很好的說明hilbert的性質。不過還有兩點，如果原始訊號是實函式，它的ht也是實函式、此外ht是乙個線性變換。
如果乙個復訊號的實部和虛部為一對ht變換對，我們稱這個訊號為解析訊號。其格式為，其中實部和虛部為一對ht變換對。當然這樣表示需要的兩個條件：
(1)解析訊號的實部和虛部必須正交；
(2)實部和虛部函式相位相差-π/2
解析訊號在復平面和時間軸構成的空間中的圖形如下。
從上圖中我們可以了解到獲取希爾伯特變換的物理意義，把乙個一維的訊號變成了二維復平面上的訊號，複數的模和幅角代表了訊號的幅度和相位。組成的解析訊號在時間軸投影可以得到實部和虛部；如果單獨取實軸和虛軸構成的復平面，那麼整個圖形如下：
此時的旋轉向量為解析訊號包絡a(t)，旋轉相位為φ(t)，向量a(t)的旋轉構成了解析訊號，當旋轉方向定下來後，旋轉相位只會隨著時間單調遞增，所以其導數也就是if值必然為正，如果出現負數的if值，再物理上無法解釋。而ht變換對於非窄帶訊號處理得到的if值又會出現負值，所以ht處理的訊號只能是窄帶訊號。
用前面定義的解析訊號表達如下：
這樣我們可以方便得到訊號的瞬時幅值也稱希爾伯特變換的包絡和瞬時相位
瞬時相位對時間的導數就是瞬時頻率。這樣，我們就利用希爾伯特變換從乙個幅度、頻率均被調製的調製波中把幅度、頻率都解調了出來。
離散希爾伯特變換
一般情況下，我們需要有關幅度和相位 或實部和虛部 在 pi,pi 上的全部資訊才能完整描述乙個序列的傅利葉變換特性 但在特定情況下，有可能不需要這些全部的資訊。1.因果實序列 因果實序列可以從它的偶對稱分量 x n x n 2 恢復出來 而偶對稱序列的傅利葉變換只有實數分量。因此，因果實序列只需要其...
訊號處理 希爾伯特黃變換
特點 最近在做訊號處理，發現自己基本功不夠紮實，開始了惡補之路，希望能夠盡快的補齊吧。希爾伯特黃變換 1998年，norden e.huang 黃鍔 中國台灣海洋學家 等人提出了經驗模態分解方法，並引入了hilbert譜的概念和hilbert譜分析的方法，美國國家航空和宇航局 nasa 將這一方法命...
MATLAB希爾伯特黃變換HHT
首先先介紹下matlab中經驗模態分解所用到的函式emd。imf emd x imf emd x,option name option value,imf emd x,opts imf,ort,nb iterations emd 做 的時候只是簡單的對訊號做乙個模態分解，因此只用到了第一種方法，im...