t∈l
(v,f
)t\in l(v,f)
t∈l(v,
f)，則t
tt可以被稱為是乙個線性泛函式（linear functional）
v ′=
l(v,
f)
v'=l(v,f)
v′=l(v
,f)，則v′v'
v′稱為v
vv的對偶空間（dual space）
v
vv是有限維度的，則可推出，v′v'
v′是有限維度的且dim
v′=d
im
vdim\ v'=dim\ v
dimv′=
dimvv1
,…,v
nv_1,\dots,v_n
v1,…,
vn是v
vv的一組基，則v1,
…,vn
v_1,\dots,v_n
v1,…,
vn的對偶基（dual basis）是乙個v′v'
v′上的向量組φ1,
…,φn
\varphi_1,\dots,\varphi_n
φ1,…,
φn，其中有φj(
vk)=
1,k=j\\ 0,k\neq j \end
φj(vk
)=
u^0=\lbrace \varphi \in v' \mid \forall u \in u,\varphi(u)=0\rbrace
u0=
可推出，零化子是乙個子空間
v
vv是有限維度的，u
uu是它的子空間，則dim
u+di
mu0=
dimv
dim\ u+dim\ u^0=dim\ v
dimu+d
imu0
=dimvv,
wv,w
v,w是有限維度的，t∈l
(v,w
)t \in l(v,w)
t∈l(v,
w)，則有矩陣a
aa的轉置（transpose）a
ta^t
at定義為(at
)k,j
=aj,
k(a^t)_=a_
(at)k,
j=a
j,k
可推出(ac
)t=c
ta
t(ac)^t=c^ta^t
(ac)t=
ctat
t ∈l
(v,w
)t\in l(v,w)
t∈l(v,
w)，則m (t
′)=(
m(t)
)t
m(t')=(m(t))^t
m(t′)=
(m(t
))t矩陣的行秩（row rank）被定義為其行向量組展開的空間的維度，列秩（colomn rank）被定義為列向量組展開的空間的維度
v ,w
v,wv,
w是有限維度的，t∈l
(v,w
)t\in l(v,w)
t∈l(v,
w)則d im
rang
et
dim\ range\ t
dimran
get等於m(t
)m(t)
m(t)
的列秩可推出，乙個矩陣的行秩總是等於列秩，於是統稱為矩陣的秩
線性代數（四）
一 矩陣空間 1 嘗試從線性空間引入矩陣空間，顯然，在矩陣空間中，仍然存在著數乘 相加等性質。接下來考慮矩陣空間的維數，最終推導出，兩個子空間相加的維數，等於其並的維數加上其交的維數，即 dim v m dim v m dim v m dim v m dim v m dim v m 2 矩陣和的秩不...
第四講 李群與李代數
1.當三維旋轉矩陣構成了特殊正交群so 3 兩個旋轉矩陣相乘表示做了兩次旋轉，對於這種只有乙個運算的集合，我們稱之為群 2.旋轉矩陣集合和矩陣乘法構成群，同樣變換矩陣和矩陣乘法也構成群 因此才能稱為旋轉矩陣群和變換矩陣群 3.每乙個李群都有對應的李代數 1 對於乙個旋轉矩陣與它的轉置的乘積為單位陣，...
MIT線性代數第九講 線性相關 線性無關
解的存在性 ax b,a.shap e m n m n a.s hape m,n m n,未知數的個數大於方程的個數，由此推斷 ax 0存在非0解，ax 0的解存在的原因是矩陣消元後存在自由列。生成空間 向量v 1,v2 v n v1,v2,v n生成的空間是指v1 v2.vn v 1,v2.v n...