第十課時：四個基本子空間
am×n，列空間c(a)，零空間n(a)，行空間c(a
t)，a轉置的零空間（通常叫左零空間），線性代數的核心內容，研究這四個基本子空間及其關係
零空間n(a)
n維向量，是ax=0的解，所以n(a)在r
n裡。列空間c(a)
列向量是m維的，所以c(a)在r
m裡。行空間c(at)
a的行的所有線性組合，即a轉置的列的線性組合（因為我們不習慣處理行向量），c(a
t)在r
n裡。a轉置的零空間n(at)—a的左零空間
n(at)在r
m裡。可以畫出四個子空間如下，
行空間和零空間在rn裡，他們的維數加起來等於n，列空間和左零空間在rm裡，他們的維數加起來等於m。
如何分別構造他們的一組基basis？維數是多少dimension？
維數問題：
列空間：a的主列就是列空間的一組基，dim(c(a))=rank(a)=r，維數就是秩的大小
行空間：有乙個重要的性質：行空間和列空間維數相同，都等於秩的大小
零空間：一組基就是一組特殊解，r是主變數的個數，n-r是自由變數的個數，零空間的維數等於n-r
左零空間：維數為m-r。
n維空間中存在兩個子空間，乙個r維的行空間，乙個n-r維的零空間，維數和為n。和另乙個結論相似：r個主變數，n-r個是自由變數，加起來是n。
m維空間中存在兩個子空間，乙個r維的列空間，乙個m-r維的左零空間，維數和為m。
基的問題：
列空間：主列組合就是一組基
零空間：一組特殊解就是一組基
行空間：通過初等行變換變換成行最簡式，行空間的一組基即是行最簡形r的前r(秩數)行。（
行變換不會對行空間產生影響，但會對列空間產生影響。）
如上圖，a通過初等行變換得到r，前兩行就是行空間的一組基，為什麼說它們一定在矩陣的行空間裡？因為行變換的時候是某行和令一行相加或相減，即是這些行向量的的線性組合。
左零空間（a轉置的零空間）：為什麼叫左零空間？
a ty=0，將等式左右兩邊都轉置，得：y
ta=0
t，如下，所以叫左零空間。
但我們一般還是習慣用a
ty=0，因為希望y是列向量。
求矩陣的左零空間，就試著尋找乙個產生零行向量的行組合，求矩陣的零空間，就試著尋找乙個產生零列向量的列組合。
如上，求a得左零空間，通過行變換得到r，r的最後一行是0向量，行變換的逆變換e的最後一行即是a的各行的組合產生0向量的向量。即，左零空間的一組基為[-1,0,1]
下一節課預告：新的向量空間，所有的3*3矩陣，把矩陣看著「向量」，每個3*3的矩陣都是乙個「向量「，叫他們為向量，因為他們服從向量加法，乘法，又能夠對矩陣進行線性組合...。向量空間，關心的是a+b和ca。子空間比如上三角矩陣，對稱矩陣，子空間的交集也是子空間。關注他們的維數，基。3*3的對角矩陣的維數為3，一組基為
認為 這三個矩陣相互線性無關，而且任何的對角矩陣可通過這三個組合得到，因此他們生成了對角矩陣空間。我們把rn的概念延伸至rn*n，他們仍對加法和乘法封閉。
線性代數10 四個基本子空間
這節課我們將研究四種基本子空間及其關係。假設有 m n 矩陣 a 四種基本子空間 1 列空間 c a 在 r m 空間，因為列向量是 m 維的 2 零空間 n a 在 r n 空間，因為她是 ax 0 的解，x 是 n 維向量 3 行空間 c a 矩陣 a 所有行的線性組合，將矩陣轉置，我們就能像以...
線性代數之 四個基本子空間
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Lecture 10 四個基本子空間
四個基本子空間 列空間 column space c a 零空間 null space n a 行空間 row space c a t 左零空間 n a t c a t 和 n a 在 r n 中，c a 和 n a t 在 r m 中 dim c a r 所有主元列構成一組基 dim c a t ...