【參考資料】
《近世代數基礎》
《從一元一次方程到伽羅瓦理論》
伽羅瓦預解式/18918113 環
存在乙個集合k，同時有加法+
++和乘法⋅
\cdot
⋅，1 ( k,
+)
(k, +)
(k,+
)構成交換群；
2 ( k,
⋅)
(k, \cdot)
(k,⋅
)構成半群；
3 如果同時考慮(k,
+,⋯)
(k, +, \cdots)
(k,+,⋯
)，滿足左右分配率；
我們稱這個代數結構為環。
如果( k,
⋅)
(k, \cdot)
(k,⋅
)滿足交換律ab=ba，則稱為交換環。
如果這個交換環中的(k,
⋅)
(k, \cdot)
(k,⋅
)還滿足消去率，即cb=ca => b=a，則我們稱之為整環。
半群是沒有么元和逆元的群域
對於整環(f,
+,⋅)
(f,+,\cdot)
(f,+,⋅
)至少有兩個元，且f中每乙個非零元都有逆元，則稱之為域。
對於非零元存在逆，本質上可以理解為域上有除法，那麼域上就是乙個滿足了加、減、乘、除四則運算的代數結構？擴域
擴域是指在某個數域上加上幾個不屬於該數域的元素，記為e/f。
比如我們在有理數域q上加上2
\sqrt
2，那麼這個屬於就稱為q(2
)q
\frac)}
qq(2)
。對於新集合來說除了增加了2
\sqrt
2外，當然也包含2
\sqrt
2參與運算後所產生的其他數。
注意此時我們構造了乙個比有理數域q大，但比實數域r小的新數域。定義: a叫作域f上的乙個代數元，假如存在屬於f的都不為零的元a0,
a1,a
2,..
..,a
na_0, a_1, a_2, ...., a_n
a0,a1
,a2
,..
..,a
n，使得成立如下乙個代數方程:
a 0+
a1a+
...+
anan
=0
a_0 + a_1a + ... + a_n a^n = 0
a0+a1
a+.
..+a
nan
=0假如這樣的a0,
a1,a
2,..
..,a
na_0, a_1, a_2, ...., a_n
a0,a1
,a2
,..
..,a
n不存在，a就叫f上的乙個超越元。其擴域f(a)分別稱為單代數擴域和單超越數擴域。
m式擴域：在屬於f中找乙個數開m次方，然後加進這個數域；
根式塔：通過m式擴域從f開始不斷擴域，存在f⊆f
1⊆f2
...f
nf \subseteq f_1 \subseteq f_2... f_n
f⊆f1⊆
f2.
..fn
伽羅瓦對於根式可解的定義：如果乙個方程的全部係數包含在域f中，全部根包含在e中，那麼有解的情況式指e包含在f擴域形成的根式塔中。
我們稱根式塔為乙個域列。正規擴域
定義:e是f的乙個有限擴域，且f(x
)∈f(
x)
f(x) \in f(x)
f(x)∈f
(x)是任意乙個不可約多項式，則e含有f(x)的乙個根，就含有其他根，稱為e是f的乙個正規擴域。
例如:g(x
)=x2
−2x−
1∈q[
x]
g(x) = x^2 -2x-1 \in q[x]
g(x)=x
2−2x
−1∈q
[x]，它的乙個根1−2
1-\sqrt
1−2
屬於擴域
q (2
)q(\sqrt)
q(2
)，那麼另外乙個根1+2
1+\sqrt
1+2
也同樣屬於這個擴域。
具有性質：如果e是f的乙個正規擴，那麼e必定是f上某個多項式的根域。
伽羅瓦群
我們定義乙個數域e的自同構對映，並把所有這個e上的自同構對映記為aut(e), 定義乙個乘法，即σ1⋅
σ2
\sigma_1 \cdot \sigma_2
σ1⋅σ2
為其復合，即σ1(
σ2
)\sigma_1(\sigma_2)
σ1(σ2
)，可以證明上述代數結構是乙個群。
注意這裡從域開始又回到群：）伽羅瓦群:e/f是擴域，（e是根的域、f是係數的域），我們定義aut(e)的乙個子集，e上全部自同構對映的集合aut（e）中使f中元素不變的那些對映形成的子集構成aut（e）的乙個子群，稱為e在f上的伽羅瓦群，記為g（e/f）。
可解群設g是乙個有限群，如果g存在乙個子群列g=g
0⊳g1
⊳g2.
..⊳g
r=
g=g_0 \rhd g_1 \rhd g_2 ... \rhd g_r = \
g=g0⊳
g1⊳
g2.
..⊳g
r=，其中e是g的單位元，使得每個商群gi/
gi+1
g_i/g_
gi/gi
+1都是可換群，則稱其為g的乙個可解群列。
這裡g 0⊳
g1
g_0 \rhd g_1
g0⊳g1
表示g
1g_1
g1是g
0g_0
g0的乙個正規子群
伽羅瓦理論針對多項式根式可解
方程在特徵為0的域上能用根式解當且僅當它的伽羅瓦群是可解群。
ps: 這步的推導完全看不懂。。。。。例如:
三次多項式方程的加瓦羅群g同構與s
3s_3
s3，又因為g=s
3⊳a3
⊳g=s_3 \rhd a_3 \rhd \
g=s3⊳
a3⊳
是乙個可解群列。
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