從零開始一起學習slam | 三維空間剛體的旋轉
剛體：本身不會在運動過程中產生形變的物體，運動過程中同乙個向量的長度和夾角都不會發生變化。剛體變換也稱歐式變換。
1、是重點！！！
2、旋轉矩陣不是一般矩陣，它有比較強的約束條件。旋轉矩陣r具有正交性，r和r的轉置的乘積是單位陣，且行列式值為1。
3、旋轉矩陣r的逆矩陣表示了乙個和r相反的旋轉。
4、旋轉矩陣r通常和平移向量t一起組成齊次的變換矩陣t，描述了歐氏座標變換。引入齊次座標是為了可以方便的描述連續的歐氏變換。
5、冗餘。用9個元素表示3個自由度的旋轉，比較冗餘。
1、slam程式設計中使用頻繁程度接近旋轉矩陣。稍微有點抽象，不太直觀，但是一定得掌握。
2、四元數由乙個實部和三個虛部組成，是一種非常緊湊、沒有奇異的表達方式。
3、程式設計時候很多坑，必須注意。首先，一定要注意四元素定義中實部虛部和列印係數的順序不同，很容易出錯！
其次，單位四元素才能描述旋轉，所以四元素使用前必須歸一化：q.normalize()。
1、用乙個旋轉軸n和旋轉角θ來描述乙個旋轉，所以也稱軸角。不過很明顯，因為旋轉角度有一定的週期性（360°一圈），所以這種表達方式具有奇異性。
2、從旋轉向量到旋轉矩陣的轉換過程稱為羅德里格斯公式。這個推導比較麻煩，否則也不會有乙個專屬的名字了。opencv和matlab中都有專門的羅德里格斯函式。
3、旋轉向量本身沒什麼出彩的，不過旋轉向量和旋轉矩陣的轉換關係，其實對應於李代數和李群的對映，這對於後面理解李代數很有幫助。
1、把一次旋轉分解成3次繞不同座標軸的旋轉，比如航空領域經常使用的「偏航-俯仰-滾轉」（yaw，pitch，roll）就是一種尤拉角。該表達方式最大的優勢就是直觀。
2、尤拉角在slam中用的很少，原因是它的乙個致命缺點：萬向鎖。也就是在俯仰角為±90°時，第一次和第3次旋轉使用的是同乙個座標軸，會丟失乙個自由度，引起奇異性。事實上，想要表達三維旋轉，至少需要4個變數。
了解了四種旋轉的表達方式，那麼程式設計時如何使用呢？
事實上，上述幾種旋轉的表達方式在乙個第三方庫eigen中已經定義好啦。eigen是乙個c++開源線性代數庫，安裝非常方便
1、eigen庫不同於一般的庫，它只有標頭檔案，沒有.so和 .a那樣的二進位制庫檔案，所以在cmakelists.txt裡只需要新增標頭檔案路徑，並不需要使用 target_link_libraries 將程式鏈結到庫上。
2、eigen以矩陣為基本資料單元，在eigen中，所有的矩陣和向量都是matrix模板類的物件，matrix一般使用3個引數：資料型別、行數、列數
eigen::matrix
而向量只是一種特殊的矩陣（一行或者一列）。同時，eigen通過typedef 預先定義好了很多內建型別，如下，我們可以看到底層仍然是eigen::matrix
typedef eigen::matrixmatrix4f;
typedef eigen::matrixvector3f;
3、為了提高效率，對於已知大小的矩陣，使用時需要指定矩陣的大小和型別。如果不確定矩陣的大小，可以使用動態矩陣eigen::dynamic
eigen::matrixmatrix_dynamic;
4、eigen在資料型別方面「很傻很天真」。什麼意思呢？就是使用eigen時運算元據型別必須完全一致，不能進行自動型別提公升。比如c++中，float型別加上double型別變數不會報錯，編譯器會自動將結果提公升為double。但是在eigen中float型別矩陣和double型別矩陣不能直接相加，必須統一為float或者double，否則會報錯。
5、eigen除了空間幾何變換外，還提供了大量矩陣分解、稀疏線性方程求解等函式，非常方便。學習eigen最好的方式就是官網：
有非常多的示例參考。
上述四種旋轉表達方式是可以相互轉化的。在eigen中它們之間的轉化非常的方便。下圖是我看的別人總結的旋轉矩陣、四元素、旋轉向量之間的相互轉化圖：
三維空間剛體旋轉
剛體 運動過程中不會產生形變的物體，運動過程中同乙個向量的長度和夾角都不會發生變化。剛體變換也稱為歐式變換。旋轉矩陣 四元數旋轉向量 尤拉角安裝方式 eigen庫只有標頭檔案，沒有.so和.a二進位制檔案，所以在cmakelists.txt中只需要新增標頭檔案路徑，並不需要使用target link...
三維空間中剛體的變換旋轉和平移
這裡旋轉主要可以採用旋轉向量，旋轉矩陣，尤拉角，四元數。我們也能反向從座標軸表現形式得到旋轉矩陣 尤拉角是採用偏航，俯仰，滾轉 yaw,pitch,roll來表示 這裡是先繞z，再繞y，最後繞x旋轉得到的 四元數 q cos a 2 nxsin a 2 nxsin a 2 nzsin a 2 兩個點...
三維空間中的旋轉變換
1 繞座標軸旋轉的公式 1 繞z軸旋轉 2 繞x軸旋轉 3 繞y軸旋轉 以上的矩陣變換公式為 p p mat 2 繞任意軸旋轉的公式 給定具有單位長的 oa軸旋轉變換的矩陣表示可確定如下 3 繞任意軸旋轉在ogre中實現 ogre matrix3 i ogre matrix3 identity og...